Question

Знайдіть точки екстремуму функції:f(x) =8 x ^2 - x ^4

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

фото

Answer 2

Щоб знайти точки екстремуму функції, спочатку візьмемо похідну функції і прирівняємо її до нуля. Точки, в яких похідна дорівнює нулю, можуть бути точками екстремуму.

Давайте обчислимо похідну функції f(x) = 8 + x^2 - x^4. Похідна функції f(x) дорівнює 0, коли її похідна не змінюється, що може вказувати на точки максимуму або мінімуму функції.

Обчислення похідної функції

Для обчислення похідної функції f(x), ми будемо застосовувати правила диференціювання для кожного члена функції окремо. Давайте розпишемо це крок за кроком.

Похідна константи 8 дорівнює 0, оскільки похідна константи завжди дорівнює 0.

Похідна x^2 застосовує правило степеневого диференціювання, яке говорить, що похідна x^n дорівнює n*x^(n-1). Таким чином, похідна x^2 дорівнює 2*x^(2-1) = 2*x.

Похідна -x^4 також застосовує правило степеневого диференціювання, але також множиться на похідну від змінної в степені. Таким чином, похідна -x^4 дорівнює -4*x^(4-1) = -4*x^3.

Тепер, коли ми знаємо похідні кожного члена функції, ми можемо скласти їх разом, щоб отримати похідну всієї функції.

Похідна функції f(x) = 8 + x^2 - x^4 дорівнює 0 + 2*x - 4*x^3 = 2*x - 4*x^3.

Знаходження точок екстремуму

Тепер, коли ми маємо похідну функції, можемо прирівняти її до нуля і розв'язати це рівняння, щоб знайти значення x, в яких похідна дорівнює нулю. Ці значення x будуть потенційними точками екстремуму функції.

2*x - 4*x^3 = 0

Зробимо спрощення:

2*x = 4*x^3

1 = 2*x^2

x^2 = 1/2

x = ±√(1/2)

Таким чином, ми знайшли дві точки, в яких похідна дорівнює нулю: x = √(1/2) і x = -√(1/2).

Перевірка типу точок екстремуму

Тепер, щоб визначити тип цих точок, ми можемо проаналізувати знаки похідної функції навколо цих точок.

Давайте розглянемо інтервали між точками:

1. Інтервал (-∞, -√(1/2)): Значення похідної функції на цьому інтервалі можна визначити, підставивши довільне значення x з цього інтервалу в похідну функцію. Якщо значення похідної більше 0, то функція зростає, і якщо значення похідної менше 0, то функція спадає.

2. Інтервал (-√(1/2), √(1/2)): Значення похідної функції на цьому інтервалі також можна визначити, підставивши довільне значення x з цього інтервалу в похідну функцію. Якщо значення похідної більше 0, то функція зростає, і якщо значення похідної менше 0, то функція спадає.

3. Інтервал (√(1/2), +∞): Аналогічно, значення похідної функції на цьому інтервалі можна визначити, підставивши довільне значення x з цього інтервалу в похідну функцію. Якщо значення похідної більше 0, то функція зростає, і якщо значення похідної менше 0, то функція спадає.

Зауважте, що це лише аналіз знаків похідної функції, і ми ще не знаємо, чи є ці точки максимумами чи мінімумами. Щоб визначити тип точок, нам потрібно здійснити додатковий аналіз другої похідної функції або використати властивості функції.