Question

Знайти проміжки опуклості, угнутості та точки перегину функції f(x) = x²(x + 4) - x² + x - 1.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Знайти проміжки опуклості, угнутості та точки перегину функції        f(x) = x²(x + 4) - x² + x - 1.​

Если во всех точках интервала вторая производная функции f(x)

положительна(отрицательна) то кривая на этом интервале вогнута(выпукла).

Если вторая производная равна 0 или не существует, при этом f''(a)

меняет знак, то точка х=а есть точка перегиба.

f'(x)= (x²(x + 4) - x² + x - 1)'=(x³+3x²+x-1)'=3x²+6x+1

f''(x)=(3x²+6x+1)'=6x+6

f''(x)=0

6x+6=0  x=-1

f''(-2)=-6<0

f''(0)=6>0

f''(-1)=0, при переходе через точку х=-1 f''(x) меняет знак,

значит точка х=-1 является точкой перегиба.

(-∞;-1] кривая выпукла

[-1;∞) кривая вогнута

Answer 2

Для того чтобы найти промежутки опуклости, угнутости и точки перегиба функции, нужно вычислить её вторую производную и проанализировать знаки этой производной.

Данная функция имеет вид f(x) = x²(x + 4) - x² - x - 1.

1. Вычислим первую производную функции f'(x): f'(x) = 2x(x + 4) + x² + 4x - 2x - 1 = 3x² + 6x - 1.

2. Вычислим вторую производную функции f''(x): f''(x) = 6x + 6.

3. Найдем точки перегиба функции, приравняв вторую производную к нулю и решив полученное уравнение: 6x + 6 = 0 x = -1.

Таким образом, точка перегиба функции находится при x = -1.

4. Анализируем знаки второй производной в окрестностях точки перегиба:

- При x < -1: f''(x) < 0, следовательно, в этом интервале функция опукла. - При x > -1: f''(x) > 0, следовательно, в этом интервале функция угнута.

Таким образом, функция имеет промежуток опуклости (-бесконечность, -1) и промежуток угнутости (-1, +бесконечность).

Окончательно, промежутки опуклости и угнутости функции f(x) = x²(x + 4) - x² - x - 1: - Промежуток опуклости: (-бесконечность, -1). - Промежуток угнутости: (-1, +бесконечность). Точка перегиба: (-1, f(-1)).