Question

Знайти проміжки опуклості, та точки перегину функції : f(x) = x^3-3x^2-9x+11

Answer 1

Ответ:

Производная обращается в 0 при x=1 или x=3.

Answer 2

Щоб знайти проміжки опуклості та точки перегину функції $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 11$, спершу знайдемо другу похідну функції і розв'яжемо рівняння для точок перегину.

1. Знайдемо першу та другу похідну функції $f(x)$:

   Перша похідна: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$

   Друга похідна: $f''(x) = 6x - 6$

2. Тепер розв'яжемо рівняння $f''(x) = 0$ для знаходження точок перегину:

   $6x - 6 = 0$ $6x = 6$ $x = 1$

   Отже, $x = 1$ - це точка перегину функції.

3. Тепер визначимо проміжки опуклості, досліджуючи знак другої похідної $f''(x)$ на різних інтервалах.

   • Розглянемо інтервал $(-\infty, 1)$: Виберемо $x = 0$ як тестову точку. Підставляючи $x = 0$ в $f''(x)$: $f''(0) = 6(0) - 6 = -6$ Оскільки $f''(0)$ від'ємне, то функція $f(x)$ опукла вниз на цьому інтервалі.

   • Розглянемо інтервал $(1, \infty)$: Виберемо $x = 2$ як тестову точку. Підставляючи $x = 2$ в $f''(x)$: $f''(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6$ Оскільки $f''(2)$ додатне, то функція $f(x)$ опукла вгору на цьому інтервалі.

4. Тепер ми знаємо, що функція $f(x)$ опукла вниз на $(-\infty, 1)$ і опукла вгору на $(1, \infty)$.

Точка перегину $x = 1$ розділяє ці два інтервали. Таким чином, точка перегину $x = 1$ є точкою зміни опуклості функції $f(x)$.

Загалом, функція $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 11$ має точку перегину в $x = 1$ і опуклість змінюється з опуклої вниз на опуклу вгору на цій точці.