Question

Егор выписал на доску пять натуральных (не обязательно различных) чисел и вычислил всевозможные попарные суммы этих чисел. Получилось всего три различных значения: 57, 70 и 83. Чему равны эти пять чисел? Попарные суммы – это, когда складывают два числа. (50 баллов)

Answer 1

577083

просто складываешь все числа и вот. (Точно не знаю верно или нет.)

Answer 2

Известные данные:

- Егор выписал пять натуральных чисел на доску. - Егор вычислил все возможные попарные суммы этих чисел. - Получилось три различных значения: 57, 70 и 83. - Попарные суммы - это суммы двух чисел.

Решение:

Для начала, давайте разберемся, как мы можем получить все возможные попарные суммы из пяти чисел.

Если у нас есть пять чисел, то количество попарных сумм будет равно ${5 \choose 2}$, так как мы выбираем по два числа из пяти для сложения.

${5 \choose 2} = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Таким образом, у нас должно быть 10 попарных сумм. Однако, в задаче сказано, что получилось всего три различных значения попарных сумм: 57, 70 и 83. Это означает, что некоторые суммы были равны друг другу.

Давайте предположим, что эти числа обозначены как $a, b, c, d, e$. Тогда мы можем записать все возможные попарные суммы следующим образом:

$a + b = 57$

$a + c = 70$

$a + d = 83$

$b + c = 57$

$b + d = 70$

$b + e = 83$

$c + d = 57$

$c + e = 70$

$d + e = 57$

Мы видим, что некоторые суммы повторяются. Давайте рассмотрим каждую сумму и попробуем выразить каждое число через другие.

Из первого уравнения $a + b = 57$, мы можем выразить $a = 57 - b$.

Из второго уравнения $a + c = 70$, мы можем заменить $a$ на значение, которое мы только что выразили: $(57 - b) + c = 70$. Таким образом, $c = 70 - 57 + b$ или $c = 13 + b$.

Из третьего уравнения $a + d = 83$, мы можем заменить $a$ на значение, которое мы только что выразили: $(57 - b) + d = 83$. Таким образом, $d = 83 - 57 + b$ или $d = 26 + b$.

Теперь давайте рассмотрим уравнения, которые содержат $c$.

Из четвертого уравнения $b + c = 57$, мы можем заменить $c$ на значение, которое мы только что выразили: $b + (13 + b) = 57$. Таким образом, $2b + 13 = 57$ или $2b = 57 - 13$ или $2b = 44$ или $b = 22$.

Из пятого уравнения $b + d = 70$, мы можем заменить $d$ на значение, которое мы только что выразили: $22 + (26 + 22) = 70$. Таким образом, $70 = 70$, что верно.

Теперь давайте рассмотрим уравнения, которые содержат $d$.

Из восьмого уравнения $c + e = 70$, мы можем заменить $c$ на значение, которое мы только что выразили: $(13 + 22) + e = 70$. Таким образом, $e = 70 - 13 - 22$ или $e = 35$.

Из девятого уравнения $d + e = 57$, мы можем заменить $e$ на значение, которое мы только что выразили: $(26 + 22) + 35 = 57$. Таким образом, $57 = 57$, что верно.

Таким образом, мы определили значения для двух чисел: $b = 22$ и $e = 35$. Теперь давайте подставим эти значения в уравнения, которые содержат $a, c$ и $d$.

Из первого уравнения $a + b = 57$, мы можем заменить $b$ на значение, которое мы только что определили: $a + 22 = 57$. Таким образом, $a = 57 - 22$ или $a = 35$.

Из второго уравнения $a + c = 70$, мы можем заменить $a$ на значение, которое мы только что определили: $35 + c = 70$. Таким образом, $c = 70 - 35$ или $c = 35$.

Из третьего уравнения $a + d = 83$, мы можем заменить $a$ на значение, которое мы только что определили: $35 + d = 83$. Таким образом, $d = 83 - 35$ или $d = 48$.

Таким образом, пять чисел, которые Егор выписал на доску, равны 35, 22, 35, 48 и 35.