Question

5. Знайдіть абсцису точки графіка функції f(x) = x² + x√3, у якій проведена до нього дотична утворює з додатним напрямом осі абсцис кут 150°.

Answer 1

Для того, щоб знайти абсцису точки дотичної до графіка функції f(x), яка утворює кут 150° з додатним напрямом осі абсцис, потрібно виконати декілька кроків.

1) Знайдіть похідну функції f(x):

f'(x) = 2x + √3

2) Знайдіть значення похідної в точці дотичної. Оскільки дотична до графіка утворює кут 150° з додатним напрямом осі абсцис, то тангенс цього кута дорівнює √3. Тому

f'(x) = √3

3) Знайдіть абсцису точки, в якій до графіка проведена дотична зі значенням похідної, рівним √3:

f'(x) = 2x + √3 = √3

2x = √3 - √3

x = (√3 - √3) / 2

4) Скористайтеся тригонометричною таблицею для того, щоб перевірити, що кут, утворюваний дотичною з додатним напрямом осі абсцис та відрізком від початку координат до точки, де проведена дотична, дорівнює 150°:

tg 150° = -√3

tg α = (0 - x) / y

-√3 = (0 - x) / y

y = (x / √3) -x

Тому, абсциса точки графіка, в якій проведена дотична, яка утворює з додатним напрямом осі абсцис кут 150°, дорівнює:

x = (√3 - √3) / 2 = 0

Отже, абсциса точки дорівнює 0.

Answer 2

Щоб знайти абсцису точки графіка функції, в якій проведена до нього дотична, що утворює кут 150° з додатним напрямом осі абсцис, спочатку ми повинні з'ясувати, як знайти кут нахилу (схил) дотичної.

Знайдення кута нахилу дотичної

Кут нахилу дотичної до графіка функції можна знайти, взявши похідну цієї функції. Тому спочатку знайдемо похідну функції f(x) = x² + x√3.

Для знаходження похідної від функції перевіримо, чи є вона диференційованою. Якщо так, то використаємо правило диференціювання для знаходження похідної.

Знаходження похідної функції

Для знаходження похідної функції f(x) = x² + x√3 скористаємось правилом диференціювання суми функцій та правилом диференціювання добутку функцій.

Правило диференціювання суми функцій: (d/dx) (f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)

Правило диференціювання добутку функцій: (d/dx) (f(x) * g(x)) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

Застосуємо ці правила до функції f(x) = x² + x√3:

(d/dx) (x² + x√3) = (d/dx) (x²) + (d/dx) (x√3)

Перша похідна x² дорівнює 2x, а похідна x√3 дорівнює √3.

Тому:

f'(x) = 2x + √3

Знаходження точки графіка з дотичною під кутом 150°

Тепер, коли ми знайшли похідну функції, ми можемо використати цю інформацію, щоб знайти точку графіка функції, в якій проведена дотична, що утворює кут 150° з додатним напрямом осі абсцис.

Кут нахилу дотичної до графіка функції дорівнює значенню похідної функції в цій точці. Оскільки ми знаємо, що цей кут дорівнює 150°, ми можемо встановити рівняння:

tan(150°) = f'(x)

Для обчислення тангенса 150°, ми можемо використати тригонометричний ідентифікатор:

tan(150°) = -√3

Тому:

-√3 = 2x + √3

Розв'язавши це рівняння для x, отримаємо:

2x = -2√3

x = -√3

Отже, абсциса точки графіка функції f(x) = x² + x√3, в якій проведена до нього дотична, що утворює кут 150° з додатним напрямом осі абсцис, дорівнює -√3.