Question

знайдіть абсцису точки графіка функції f(x)=x^2-5x, у якій дотична до цього графіка утворює з додатним напрямом осі абсцису кут 45°​

Answer 1

Дана функция f(x)=x^2-5x.

Её производная равна 2х - 5.

Угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания.

Для угла 45 градусов это 1.

2х - 5 = 1.

2х = 6.

х = 6/2 = 3.

Ответ: абсциса точки графіка функції f(x)=x^2-5x, у якій дотична до цього графіка утворює з додатним напрямом осі абсцису кут 45°​, равна 3.

Answer 2

Для знаходження абсциси точки графіка функції $f(x) = x^2 - 5x$, в якій дотична утворює кут 45° з додатним напрямом осі абсцис, нам спершу потрібно знайти похідну функції та потім визначити, де ця похідна дорівнює 1.

1. Знаходимо похідну функції $f(x) = x^2 - 5x$: $f'(x) = \frac{d}{dx} (x^2 - 5x) = 2x - 5.$

2. Дотична має нахил 45° до позитивного напрямку осі абсцис. Це означає, що коефіцієнт нахилу дотичної повинен бути $m = \tan(45^\circ) = 1$.

3. Рівняння дотичної виглядає наступним чином: $y = mx + c,$ де $m$ - нахил дотичної, $c$ - точка перетину з осі ординат.

4. Підставляючи $m = 1$, маємо: $y = x + c.$

5. Дотична перетинає графік функції $f(x) = x^2 - 5x$ в точці, де їхні значення співпадають. Тобто: $x^2 - 5x = x + c.$

6. Переписуємо рівняння у квадратичному вигляді та розв'язуємо його відносно $x$: $x^2 - 6x - c = 0.$

7. Щоб дотична утворювала кут 45° з позитивним напрямком осі абсцис, дискримінант цього квадратного рівняння має бути рівним нулю. Тобто: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-c) = 36 + 4c = 0.$

8. Розв'язуємо рівняння $36 + 4c = 0$ відносно $c$: $c = -9.$

9. Підставляючи значення $c = -9$ у рівняння $x^2 - 6x - c = 0$, отримуємо: $x^2 - 6x + 9 = 0.$

10. Розв'язуємо це квадратне рівняння: $(x - 3)^2 = 0.$

11. Звідси випливає, що $x = 3$.

Отже, абсциса точки графіка функції $f(x) = x^2 - 5x$, в якій дотична утворює кут 45° з позитивним напрямком осі абсцис, дорівнює 3.