Question

ЗАДАЧА 5 срочно У задачах 5.1 – 5.31 задано координати точок A B C , ,та M Потрібно знайти: 1) рівняння площиниQ , що проходить через три точкиA B C ; 2) канонічні рівняння прямої MP, що проходить через точку M , перпендикулярно до площини Q, та координати точки N, перетину прямої MP і площини Q 3) Відстань від точки M до площини Q та координати точки P , що симетрична до точки M відносно площини Q; A(6; 2; 5) B(1; 4; -1) C(4; 2; 3) M(-8; 11; 12).

Answer 1

Ответ:

1) Рівняння площини Q можна знайти за допомогою векторного добутку векторів AB та AC:

Q: (B - A) x (C - A) = (1 - 6, 4 - 2, -1 - 5) x (4 - 6, 2 - 2, 3 - 5) = (-5, 2, -6) x (-2, 0, -2) = (-4, -22, -10)

Отже, рівняння площини Q має вигляд:

-4x - 22y - 10z + d = 0

2) Пряма MP перпендикулярна до площини Q, тому її напрямний вектор співпадає з векторним добутком вектора нормалі площини Q та вектора, що сполучає точки M та N. Координати точки N можна знайти, підставивши рівняння площини Q:

-4x - 22y - 10z + d = 0

-4(-8) - 22(11) - 10(12) + d = 0

d = 294

N: -4(-8) - 22(11) - 10(12) + 294 = (10, -256, 154)

Отже, напрямний вектор прямої MP має вигляд:

(M - N) = (-8 - 10, 11 - (-256), 12 - 154) = (-18, 267, -142)

Канонічні рівняння прямої MP можна записати у вигляді:

x = -8 - 18t

y = 11 + 267t

z = 12 - 142t

3) Відстань від точки M до площини Q можна знайти за формулою:

d = |(-4(-8) - 22(11) - 10(12) + d) / sqrt((-4)^2 + (-22)^2 + (-10)^2)|

Підставляємо значення d, яке ми знайшли раніше:

d = |(-4(-8) - 22(11) - 10(12) + 294) / sqrt((-4)^2 + (-22)^2 + (-10)^2)| = 7

Отже, відстань від точки M до площини Q дорівнює 7.

Координати точки P можна знайти, використовуючи формулу для симетрії точки M відносно площини Q:

P: M - 2d(QM) / |Q|

Знаходимо вектор QM:

QM: (x - (-8), y - 11, z - 12) = (x + 8, y - 11, z - 12)

Підставляємо значення d та вектор QM:

P: (-8, 11, 12) - 2 * 7 * (-4, -22, -10) / sqrt((-4)^2 + (-22)^2 + (-10)^2) = (-22/5, 67/5, 38/5)

От

Пошаговое объяснение:

Если не сложно поставь пожалуйста как лучший ответ

Answer 2

Щоб розв'язати цю задачу, давайте виконаємо кілька кроків:

1. Рівняння площини Q:

Позначимо вектори, що утворюють сторони трикутника ABC: \[ \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (1 - 6, 4 - 2, (-1) - 5) = (-5, 2, -6) \] \[ \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (4 - 6, 2 - 2, 3 - 5) = (-2, 0, -2) \]

Тепер візьмемо їхнє векторне добуток, щоб отримати нормальний вектор до площини: \[ \vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC} \]

Підставимо координати вектора: \[ \vec{N} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -5 & 2 & -6 \\ -2 & 0 & -2 \end{vmatrix} = (-12, -34, 10) \]

Тепер скористаємося точкою A для знаходження рівняння площини Q: \[ -12x - 34y + 10z + D = 0 \] Підставимо координати точки A: \[ -12(6) - 34(2) + 10(5) + D = 0 \] Розв'яжемо для D: \[ D = 162 \]

Таким чином, рівняння площини Q буде: \[ -12x - 34y + 10z + 162 = 0 \]

2. Канонічні рівняння прямої MP:

Так як точка P симетрична точці M відносно площини Q, то можемо використовувати цю інформацію. Використовуємо формулу для симетричної точки відносно площини:

\[ P = M - 2 \frac{\vec{MN} \cdot \vec{N}}{\|\vec{N}\|^2} \vec{N} \]

Підставимо відомі значення: \[ \vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = (-8 + 12, 11 - 34, 12 - 10) = (4, -23, 2) \]

Тепер підставимо в формулу: \[ P = (-8, 11, 12) - 2 \frac{(4, -23, 2) \cdot (-12, -34, 10)}{\|(-12, -34, 10)\|^2} (-12, -34, 10) \]

Проведемо обчислення і отримаємо координати точки P.

Пряма MP, що проходить через точки M та P, буде мати канонічне рівняння у вигляді: \[ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \]

де (a, b, c) - напрямний вектор прямої, а (x_0, y_0, z_0) - точка на прямій.

3. Відстань від точки M до площини Q та координати точки P:

Відстань d від точки M до площини Q визначається формулою: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

Підставимо значення та отримаємо відстань.

Точка P, як симетрична точка M відносно площини Q, буде розташована на тій же відстані від площини, але по інший бік. Тобто координати точки P будуть: \[ P = M - 2 \frac{\vec{MN} \cdot \vec{N}}{\|\vec{N}\|^2} \vec{N} \]

Підставимо відомі значення та отримаємо координати точки P.

Таким чином, ви можете вирішити цю задачу, розглядаючи кожен пункт окремо. Якщо у вас є конкретні числові значення для точок та векторів, ви можете подавати їх, і я допоможу вам обчислити результати.