Question

1. Знайдіть найбільше і найменше значення g(x) = (x ^ 2 - 8x)/(x + 1) на проміжку [0; 4] функції​

Answer 1

Відповідь:

Для знаходження найбільшого та найменшого значень функції g(x) на проміжку [0, 4], спочатку треба знайти точки, де функція може досягати екстремумів. Ці точки можуть бути або в середині проміжку, або на його межах.

1. Знайдемо точки, в яких функція може досягати екстремуму в середині проміжку:

g'(x) = [(2x - 8)(x + 1) - (x ^ 2 - 8x)] / (x + 1) ^ 2 = -6(x - 2) / (x + 1) ^ 2

Екстремум можливий, коли g'(x) = 0, тобто коли x = 2. Оскільки x = 2 належить до проміжку [0, 4], то ця точка може бути максимумом або мінімумом функції.

2. Знайдемо значення функції на межах проміжку [0, 4]:

g(0) = (0 ^ 2 - 8 * 0) / (0 + 1) = 0

g(4) = (4 ^ 2 - 8 * 4) / (4 + 1) = -8 / 5

3. Зробимо висновки:

Значення функції на межах проміжку: g(0) = 0, g(4) = -8/5.

Точка x = 2 може бути максимумом або мінімумом функції. Для з'ясування цього перевіримо знак похідної g'(x) на інтервалах [0, 2) та (2, 4].

- Для x на проміжку [0, 2) маємо g'(x) < 0, тобто функція g(x) спадає.

- Для x на проміжку (2, 4] маємо g'(x) > 0, тобто функція g(x) зростає.

Отже, функція g(x) має мінімум у точці x = 2. Тоді найбільше значення функції g(x) на проміжку [0, 4] дорівнює g(0) = 0, а найменше значення дорівнює g(2) = -4.

Зроби як найкращу відповідь будь-ласка.

Покрокове пояснення:

Answer 2

Щоб знайти найбільше і найменше значення функції \( g(x) = \frac{x^2 - 8x}{x + 1} \) на проміжку \([0, 4]\), треба виконати кілька етапів:

1. Знайти всі точки екстремуму, де \( g'(x) = 0 \) або \( g'(x) \) не існує. 2. Визначити значення \( g(x) \) у виявлених точках екстремуму. 3. Врахувати значення \( g(x) \) на кінцях проміжку \([0, 4]\).

Почнемо з обчислення похідної \( g'(x) \):

\[ g(x) = \frac{x^2 - 8x}{x + 1} \]

Використаємо правило частинних похідних:

\[ g'(x) = \frac{(x + 1)(2x - 8) - (x^2 - 8x)}{(x + 1)^2} \]

Спростимо вираз:

\[ g'(x) = \frac{2x^2 - 8x + 2x - 8 - x^2 + 8x}{(x + 1)^2} \]

\[ g'(x) = \frac{x^2 - 8}{(x + 1)^2} \]

Тепер знайдемо точки, де \( g'(x) = 0 \) або \( g'(x) \) не існує:

\[ x^2 - 8 = 0 \]

\[ x^2 = 8 \]

\[ x = \pm 2\sqrt{2} \]

Це дві точки, де \( g'(x) \) не існує. Тепер знайдемо значення \( g(x) \) у цих точках та на кінцях проміжку \([0, 4]\):

1. Підставимо \( x = 2\sqrt{2} \) у \( g(x) \):

\[ g(2\sqrt{2}) = \frac{(2\sqrt{2})^2 - 8 \cdot 2\sqrt{2}}{2\sqrt{2} + 1} \]

\[ g(2\sqrt{2}) = \frac{8 - 16\sqrt{2}}{2\sqrt{2} + 1} \]

2. Підставимо \( x = -2\sqrt{2} \) у \( g(x) \):

\[ g(-2\sqrt{2}) = \frac{(-2\sqrt{2})^2 - 8 \cdot (-2\sqrt{2})}{-2\sqrt{2} + 1} \]

\[ g(-2\sqrt{2}) = \frac{8 + 16\sqrt{2}}{-2\sqrt{2} + 1} \]

3. Підставимо \( x = 0 \) у \( g(x) \):

\[ g(0) = \frac{0 - 0}{0 + 1} = 0 \]

4. Підставимо \( x = 4 \) у \( g(x) \):

\[ g(4) = \frac{4^2 - 8 \cdot 4}{4 + 1} \]

\[ g(4) = \frac{16 - 32}{5} = -\frac{16}{5} \]

Отже, ми знайшли значення функції \( g(x) \) у всіх критичних точках та на кінцях проміжку. Тепер можна порівняти ці значення та визначити найбільше і найменше значення на проміжку \([0, 4]\):

Найменше значення: \(-\frac{16}{5}\) (в точці \(x = 4\))

Найбільше значення: \( g(-2\sqrt{2}) \) або \( g(2\sqrt{2}) \), в залежності від того, яка з цих точок дає більше значення.