Question

4. Знайдіть суму восьми перших членів геометричної прогресії (bn), якщо b2 = 1, b4= 16​

Answer 1

Ответ:

b1 = √b2 = 1

b3 = √(b2 b4) = √(1 16) = 4

b5 = √(b4 b6) = √(16 b6)

16 = √(b2 b4) = √(1 16) = 4

b6 = (16/b4) = (16/16) = 1

b7 = √(b6 b8) = √(1 b8)

b8 = (b7^2)/b6 = (b7^2)/1

Since we don't know b7, we can't find b8.

Sum of first 8 terms:

b1 + b2 + b3 + ... + b8

= 1 + 1 + 4 + ... + b8

= 1 + 1 + 4 + ... + (b7^2)/1

Answer 2

Задача стосується геометричної прогресії, де кожен член послідовності є добутком попереднього на певний множник. В даному випадку, ми можемо позначити члени геометричної прогресії як b₁, b₂, b₃, ..., b₈.

За умовою задачі нам дані значення двох членів:

1. b₂ = 1 2. b₄ = 16

Ми можемо використати цю інформацію для знаходження множника прогресії (різниці між членами).

Маємо:

\[ b₂ = b₁ \cdot r \] \[ b₄ = b₂ \cdot r = b₁ \cdot r^2 \]

Знаючи, що \( b₂ = 1 \) та \( b₄ = 16 \), ми можемо записати дві рівняння:

\[ 1 = b₁ \cdot r \] \[ 16 = b₁ \cdot r^2 \]

Перше рівняння дозволяє нам знайти значення \( b₁ \):

\[ b₁ = \frac{1}{r} \]

Підставимо це значення в друге рівняння:

\[ 16 = \left( \frac{1}{r} \right) \cdot r^2 \]

Множимо обидва боки на \( r \):

\[ 16r = r \]

Тепер ділимо обидва боки на 16:

\[ r = \frac{1}{4} \]

Отже, ми отримали значення множника \( r \).

Тепер можемо знайти перші вісім членів геометричної прогресії, використовуючи формулу:

\[ b_n = b₁ \cdot r^{(n-1)} \]

Для перших вісім членів (n = 1 до 8):

\[ b₁, b₂, b₃, b₄, b₅, b₆, b₇, b₈ \]

Підставимо значення \( b₁ \) та \( r \) і знайдемо кожен член.

\[ b₁ = 4 \] \[ r = \frac{1}{4} \]

1. \( b₁ = 4 \) 2. \( b₂ = b₁ \cdot r = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1 \) 3. \( b₃ = b₁ \cdot r^2 = 4 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^2 = 1 \) 4. \( b₄ = b₁ \cdot r^3 = 4 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^3 = \frac{1}{4} \) 5. \( b₅ = b₁ \cdot r^4 = 4 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^4 = \frac{1}{16} \) 6. \( b₆ = b₁ \cdot r^5 = 4 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^5 = \frac{1}{64} \) 7. \( b₇ = b₁ \cdot r^6 = 4 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^6 = \frac{1}{256} \) 8. \( b₈ = b₁ \cdot r^7 = 4 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^7 = \frac{1}{1024} \)

Тепер можемо знайти суму цих восьми членів:

\[ S_8 = b₁ + b₂ + b₃ + b₄ + b₅ + b₆ + b₇ + b₈ \]

\[ S_8 = 4 + 1 + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \frac{1}{256} + \frac{1}{1024} \]

\[ S_8 = \frac{4095}{1024} \]

Отже, сума восьми перших членів геометричної прогресії дорівнює \( \frac{4095}{1024} \).