Question

Чему равен cos(arcctg x)? Есть ли формула?

Answer 1

Ответ:

(на картинке)

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Да, существует формула, связывающая \( \cos(\text{arcctg}(x)) \). Давайте разберемся с этим.

Пусть \( y = \text{arcctg}(x) \). Тогда \(\cot(y) = x\).

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\cot^2(y) + 1 = \csc^2(y)\), где \(\csc(y)\) - косеканс, обратная функция к синусу.

Так как \(\cot(y) = x\), подставим это в тождество:

\[ x^2 + 1 = \csc^2(y) \]

Теперь применим обратные тригонометрические функции:

\[ \sin^2(y) = \frac{1}{x^2 + 1} \]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[ \sin(y) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \]

Используем связь между синусом и косинусом (\( \sin(y) = \cos(\frac{\pi}{2} - y) \)):

\[ \cos\left(\frac{\pi}{2} - y\right) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \]

Так как \( \frac{\pi}{2} - \text{arcctg}(x) = \text{arctg}(x) \), подставим это обратно:

\[ \cos(\text{arctg}(x)) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \]

Итак, получаем, что \( \cos(\text{arctg}(x)) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \).