Question

Даю 20 балів. На дошці записані числа 1, 2, 3, 4,...,999, 1000. Двоє по черзі витирають по одному числу. Гра закінчується, коли на дошці залишається два числа. Якщо їх сума ділиться на 3, то перемагає перший гравець, якщо ні то другий. Хто з них виграє, при правильній грі?

Answer 1

Пошаговое объяснение:

При правильной игре выиграет второй игрок. Он должен выбирать числа, которые делятся на 3, тогда после 333 ходов все оставшиеся числа будут не кратны 3. Когда останутся три числа, второй игрок должен оставить два числа, которые при делении на 3 дают одинаковый остаток. Тогда сумма оставшихся чисел не будет кратна 3.

Answer 2

Це завдання засноване на розумінні математичних закономірностей. Давайте розглянемо його крок за кроком.

На початку гри ми маємо числа від 1 до 1000. Двоє гравців витирають числа по черзі, і гра закінчується, коли на дошці залишається два числа.

Давайте розглянемо, як гравці будуть вибирати числа. Почнемо з першого гравця (A):

1. A видаляє 1. 2. B видаляє 2. 3. A видаляє 3. 4. B видаляє 4. 5. ...

Цей процес триває до того часу, поки залишаються числа 999 і 1000.

Тепер, давайте подивимося на закономірності. Якщо ми розглянемо суму будь-яких двох сусідніх чисел, наприклад, (1 + 2), (2 + 3), ..., (999 + 1000), то ми побачимо, що сума кожної пари буде 1 більше за парність їхнього середнього числа. Ось приклад:

- (1 + 2) = 3 (непарне) - (2 + 3) = 5 (непарне) - ... - (999 + 1000) = 1999 (непарне)

Отже, сума будь-якої пари чисел завжди є непарною.

Це означає, що коли залишаються тільки два числа на дошці, їхня сума також буде непарною. Але за умовою, переможець визначається залишком від ділення суми на 3.

Якщо сума непарна, то залишок від ділення на 3 також є непарним. Тобто, якщо залишиться два числа, їхня сума ніколи не буде кратною 3.

Отже, виграє завжди другий гравець, який буде вибирати числа після першого гравця.