Question

На дошці записано 10 одиниць та 10 двійок. За один хід дозволяється стирати будь-які дві цифри і, якщо вони були однаковими, записати двійку, а якщо різними одиницю. Якщо остання цифра, що залишається на дошці, - одиниця, то виграє перший гравець, якщо ж двійка, то другий. У кого з гравців виграшна стратегія?​

Answer 1

Виграшна стратегія у 2 гравця. Він стирає дві одиниці і пише одну двійку (було 10:10, стало 8:11) і т. д. Перший гравець не зможе вийти в плюс, бо щоб написати 1, йому треба одну 1 стерти. 1-1=0, тому він не має виграшної стратегії.

Answer 2

Давайте розглянемо цю гру крок за кроком. Почнемо з першого ходу. На дошці записано 10 одиниць і 10 двійок. Гравцям дозволяється стирати будь-які дві цифри і, якщо вони були однаковими, записати двійку, а якщо різними - одиницю.

Перший гравець може вибрати будь-які дві цифри для стирання. Нехай він стирає одну одиницю і одну двійку. Тоді на дошці залишиться 9 одиниць і 9 двійок.

Тепер другий гравець може вибрати дві одиниці або дві двійки для стирання. У будь-якому випадку, на дошці залишиться однакова кількість одиниць і двійок, а саме 8 одиниць і 8 двійок.

Цей процес буде продовжуватися далі, де кожен гравець стирає по дві цифри, залишаючи на дошці однакову кількість одиниць і двійок. Таким чином, незалежно від того, які цифри гравці стирають, на дошці завжди буде парна кількість одиниць і двійок.

Однак, ми помічаємо, що на початку гри було записано 10 одиниць і 10 двійок, що є парною кількістю. Отже, незалежно від того, які ходи роблять гравці, на дошці завжди буде парна кількість одиниць і двійок.

Таким чином, жоден з гравців не може мати виграшну стратегію, оскільки на дошці завжди буде парна кількість одиниць і двійок.