Question

2. Знайдіть область визначен y = √x²-4x-12

Answer 1

Надеюсь правильно поняла ваш вопрос

Answer 2

Щоб знайти область визначення функції \(y = \sqrt{x^2 - 4x - 12}\), ми повинні враховувати те, що значення підкореневого виразу \(x^2 - 4x - 12\) повинно бути не менше нуля, оскільки в корені не може бути від'ємного числа.

Отже, вираз \(x^2 - 4x - 12\) повинен бути більше або рівний нулю:

\[x^2 - 4x - 12 \geq 0\]

Тепер спробуємо розв'язати цю нерівність. Спочатку факторизуємо квадратний тричлен:

\[(x - a)(x - b) \geq 0\]

де \(a\) та \(b\) - це корені рівняння \(x^2 - 4x - 12 = 0\).

Розв'язок рівняння \(x^2 - 4x - 12 = 0\) можна знайти, використовуючи квадратне рівняння або формулу квадратного кореня:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

У нашому випадку \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -12\).

\[x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-12)}}{2(1)}\]

\[x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}\]

\[x = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2}\]

\[x = \frac{4 \pm 8}{2}\]

Отримаємо два корені:

\[x_1 = \frac{4 + 8}{2} = 6\]

\[x_2 = \frac{4 - 8}{2} = -2\]

Тепер враховуємо ці корені і будуємо інтервали на числовій прямій, вибираючи точки в межах кожного інтервалу для тестування:

\[ \begin{array}{cccccccc} (-\infty, -2) & - & -2 & \underline{\quad} & + & + & + & \cdots \\ (-2, 6) & - & - & \underline{\quad} & + & + & + & \cdots \\ (6, \infty) & - & - & \underline{\quad} & + & + & + & \cdots \\ \end{array} \]

Тепер визначимо знак на кожному інтервалі. Виділений підкореневий вираз \(x^2 - 4x - 12\) буде додатнім, якщо \(x\) знаходиться поза інтервалами \((-2, 6)\). Тобто, область визначення функції - це об'єднання інтервалів \((- \infty, -2]\) та \([6, +\infty)\).