Question

Как найти модуль и аргумент комплексного числа (2-3i)/(4+5i)

Answer 1

Ответ:

• Модуль равен $\displaystyle \boldsymbol{|z|}=\boldsymbol{\sqrt{\frac{13}{41} } }$
• Аргумент равен $\displaystyle \boldsymbol{\varphi}=\boldsymbol{\mathrm{arctg}\Big(\frac{22}{7} \Big)+\pi}$

Пошаговое объяснение:

Сначала выполним деление комплексных чисел:

$\displaystyle z=\frac{2-3i}{4+5i} =\frac{(2-3i)(4-5i)}{(4+5i)(4-5i)} =\frac{8-10i-12i+15i^2}{16-25i^2} =\\=\frac{8-22i+15\cdot (-1)}{16-25\cdot (-1)} =\frac{-7-22i}{41} =-\frac{7}{41}+(-\frac{22}{41} )i$

Число вида z=x+yi называется комплексным, тогда $\displaystyle \boldsymbol{x=-\frac{7}{41} }$, $\displaystyle \boldsymbol{y=-\frac{22}{41} }$.

Тогда модуль комплексного числа:

$\displaystyle \boldsymbol{|z|}=\sqrt{x^2+y^2} =\sqrt{\Big(-\frac{7}{41} \Big)^2+\Big(-\frac{22}{41} \Big)^2} =\sqrt{\frac{49}{41^2}+\frac{484}{41^2} } =\sqrt{\frac{533}{41^2} } =\boldsymbol{\sqrt{\frac{13}{41} } }$

Аргумент комплексного числа:

$\displaystyle \boldsymbol{\varphi}=\mathrm{arctg} \Big(\frac{y}{x}\Big)+\pi =\mathrm{arctg} \Big( \frac{-\frac{22}{41} }{-\frac{7}{41} } \Big)+\pi=\boldsymbol{\mathrm{arctg}\Big(\frac{22}{7} \Big)+\pi}$

Answer 2

Для нахождения модуля и аргумента комплексного числа (2-3i)/(4+5i), мы можем использовать следующие формулы:

Модуль комплексного числа z = |z| = sqrt(a^2 + b^2), где a и b - действительная и мнимая части числа соответственно.

Аргумент комплексного числа z = arg(z) = arctan(b/a), где a и b - действительная и мнимая части числа соответственно.

Нахождение модуля комплексного числа:

Для числа (2-3i)/(4+5i), мы можем выразить его в виде дроби:

(2-3i)/(4+5i) = ((2-3i)*(4-5i))/((4+5i)*(4-5i)) = (8-23i+15)/(16+25) = (23-23i)/41

Теперь мы можем вычислить модуль числа:

|z| = sqrt(23^2 + (-23)^2) = sqrt(529 + 529) = sqrt(1058) ≈ 32.55.

Нахождение аргумента комплексного числа:

Для числа (2-3i)/(4+5i), мы можем выразить его в виде дроби:

(2-3i)/(4+5i) = ((2-3i)*(4-5i))/((4+5i)*(4-5i)) = (8-23i+15)/(16+25) = (23-23i)/41

Теперь мы можем вычислить аргумент числа:

arg(z) = arctan((-23)/23) = arctan(-1) = -π/4.

Ответ:

Модуль числа (2-3i)/(4+5i) ≈ 32.55, а его аргумент ≈ -π/4.