Question

Чи лежать точки A, B і C, на однці прямій якщо A ( 0;1;0) B(3;4;-1) C(-2;-3;0). Если не сложно с объяснением)

Answer 1

Если векторы АВ и АС коллинеарны, то точки A, В и С лежат на одной прямой, а если не коллинеарны, то точки A, В и С не лежат на одной прямой.

Координаты векторов: АВ { 3;3; -1}, AC{-2; -4; 0 }. Тк координаты не пропорциональны, то векторы АВ и АС не коллинеарны, и, следовательно, точки А, В и С не лежат на одной прямой.

Answer 2

Для того чтобы проверить, лежат ли точки A, B и C на одной прямой, можно воспользоваться параметрическим уравнением прямой. Если все три точки удовлетворяют этому уравнению, то они лежат на одной прямой.

Параметрическое уравнение прямой может быть записано в виде:

\[ \vec{r} = \vec{r_0} + t \cdot \vec{v}, \]

где \(\vec{r_0}\) — начальная точка прямой, \(\vec{v}\) — направляющий вектор прямой, а \(t\) — параметр.

В данном случае, мы можем взять две точки A и B для определения направляющего вектора:

\(\vec{r_0} = \vec{A} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\) (начальная точка прямой)

\(\vec{v} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}\) (направляющий вектор прямой)

Теперь подставим параметрическое уравнение с найденными значениями в координаты точки C и проверим, выполняется ли оно:

\[ \vec{C} = \vec{A} + t \cdot \vec{v} \]

\[ \begin{bmatrix} -2 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix} \]

Теперь решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} -2 = 0 + 3t \\ -3 = 1 + 3t \\ 0 = -t \end{cases} \]

Из третьего уравнения видно, что \(t = 0\), затем подставим это значение в первые два уравнения:

\[ \begin{cases} -2 = 0 \\ -3 = 1 \end{cases} \]

Система не имеет решений, что означает, что точка C не лежит на прямой, проходящей через точки A и B. Таким образом, точки A, B и C не лежат на одной прямой.