Question

Даю 80 баллов за 2 задачи Алгебре 7 класса: 1) Найдите наименьшее значение многочлена x^2 - 2x + 2y^2 + 8y + 14. 2) Найдите значения числа а (значение, если оно единственное), при которых уравнение a * (a+2)*x = 1 - x не имеет решений.

Answer 1

1. Упростим выражение
x²-2x+2y²+8y+14  = (х²-2*1*х+1²)+2*(у²+2*2*у+2²)+5 = (х-1)²+2*(у+2)²+5
Минимальное значение, которое может принять квадрат выражения - это 0, т.е. наименьшее значение исходного многочлена будет при х-1 = 0 и  у+2 = 0
$\displaystyle \left \{ {{x-1 = 0} \atop {y+2 = 0}} \right. ;\\ \\ \left \{ {{x=1} \atop {y=-2}} \right.$
Получается наименьшее значение исходного многочлена будет при (х;у) = (1;-2) и оно будет равняться
(1-1)²+2*(-2+2)²+5 = 0²+2*0²+5 = 5
Ответ: Наименьшим значением многочлена x²-2x+2y²+8y+14 будет являться 5 при (х;у) = (1;-2)

2. a*(a+2)*x = 1-x
(a²+2a)*x+x = 1
(a²+2a+1)*x = 1|: (a²+2a+1)
$\displaystyle x=\frac{1}{a^2+2a+1}$
Чтобы х в нашем случае не имел решения, нужно чтобы дробь не существовала. Это происходит в том случае, если знаменатель равен нулю
a²+2a+1 = 0
(а+1)² = 0
а+1 = 0
а = -1
Ответ: при а = -1 уравнение a*(a+2)*x = 1-x не имеет решение

Answer 2

Давайте решим обе задачи.

Задача 1:

Нам дано уравнение:

\[ P(x, y) = x^2 - 2x + 2y^2 + 8y + 14 \]

Чтобы найти наименьшее значение этого многочлена, давайте завершим квадрат для членов с \(x\) и \(y\):

\[ P(x, y) = (x^2 - 2x + 1) + 2(y^2 + 4y + 4) + 14 - 1 - 8 \]

Теперь мы получили полный квадрат:

\[ P(x, y) = (x - 1)^2 + 2(y + 2)^2 + 5 \]

Наименьшее значение этого многочлена будет равно 5, так как квадратные выражения не могут быть отрицательными. Таким образом, минимальное значение многочлена равно 5.

Задача 2:

У нас есть уравнение:

\[ a \cdot (a + 2) \cdot x = 1 - x \]

Сначала упростим его:

\[ a^2 \cdot x + 2a \cdot x = 1 - x \]

Теперь сгруппируем члены с \(x\) в одну сторону:

\[ a^2 \cdot x + 2a \cdot x + x = 1 \]

\[ (a^2 + 2a + 1) \cdot x = 1 \]

Теперь у нас есть уравнение вида \(cx = 1\). Это уравнение не имеет решений только тогда, когда \(c = 0\). Таким образом, у нас есть:

\[ a^2 + 2a + 1 = 0 \]

Это уравнение является полным квадратом и имеет единственное решение:

\[ (a + 1)^2 = 0 \]

Отсюда следует, что \(a = -1\).

Таким образом, единственное значение, при котором уравнение не имеет решений, это \(a = -1\).

Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то не ясно, не стесняйтесь спрашивать.