Question

Сумма первых четырех чисел геометрической прогрессии равна сумме следующих четырех членов этой прогрессии, умноженной на 16. Найдите знаменатель прогрессии, если известно, что она является монотонной.

Answer 1

Сумма первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$

Запишем сумму первых 4 членов геометрической прогрессии:

$S_4=\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}$

Запишем сумму следующих 4 членов геометрической прогрессии как разность между суммами первых 8 и первых 4 членов геометрической прогрессии:

$S_{5-8}=S_8-S_4=\dfrac{b_1(q^8-1)}{q-1}-\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}$

По условию, первая величина в 16 раз больше второй. Получаем уравнение:

$\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}=16\left(\dfrac{b_1(q^8-1)}{q-1}-\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}\right)$

$\dfrac{16b_1(q^8-1-(q^4-1))}{q-1}=\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}$

$\dfrac{16b_1(q^8-1-q^4+1)}{q-1}=\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}$

$\dfrac{16b_1(q^8-q^4)}{q-1}=\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}$

$\dfrac{16b_1q^4(q^4-1)}{q-1}=\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}$

По условию прогрессия монотонная. Тогда, в частности $b_1\neq 0$ и $q\neq \pm 1$.

Обе части сокращаем на $\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}\neq 0$:

$16q^4=1$

$q^4=\dfrac{1}{16}$

$q=\pm\dfrac{1}{2}$

Учитывая, что прогрессия монотонная, отрицательный знаменатель исключаем.

Тогда:

$q=\dfrac{1}{2}$

Ответ: 1/2

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен \(a\), а знаменатель равен \(q\). Тогда первые четыре члена прогрессии будут \(a\), \(aq\), \(aq^2\), \(aq^3\), а следующие четыре члена будут \(aq^4\), \(aq^5\), \(aq^6\), \(aq^7\).

Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна: \[S_4 = a + aq + aq^2 + aq^3.\]

Сумма следующих четырех членов, умноженная на 16, равна: \[16(aq^4 + aq^5 + aq^6 + aq^7).\]

Условие задачи гласит, что эти суммы равны: \[S_4 = 16(aq^4 + aq^5 + aq^6 + aq^7).\]

Теперь мы можем записать выражение для суммы первых четырех членов и выразить \(a\): \[a + aq + aq^2 + aq^3 = 16(aq^4 + aq^5 + aq^6 + aq^7).\]

Факторизуем выражение: \[a(1 + q + q^2 + q^3) = 16aq^4(1 + q + q^2 + q^3).\]

Так как прогрессия монотонная, то \(q\) не равно 1. Делим обе части уравнения на \(1 + q + q^2 + q^3\): \[a = 16aq^4.\]

Теперь делим обе части на \(a\) (учитывая, что \(a\) не равно нулю, так как прогрессия монотонная): \[1 = 16q^4.\]

Отсюда получаем: \[q^4 = \frac{1}{16}.\]

Теперь найдем знаменатель прогрессии \(q\): \[q = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2}.\]

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии равен \(\frac{1}{2}\).