Question

Обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженої кривими у = x + 3 та у =x² + 1 на проміжку [0, 2].​

Answer 1

Доброго вечора. До Вашої уваги розв'язання завдання.

Answer 2

Для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми y = x + 3 и y = x² + 1 на промежутке [0, 2], нужно найти интеграл разности этих функций на данном отрезке.

Сначала найдем точки пересечения данных кривых.

x + 3 = x² + 1 x² - x - 2 = 0 (x - 2)(x + 1) = 0

Таким образом, точки пересечения - x = 2 и x = -1. На промежутке [0, 2] интересующей нас трапеции лежит только одна часть кривой y = x + 3.

Теперь вычислим интеграл от разности функций:

∫[(x + 3) - (x² + 1)] dx = ∫(x - x² + 2) dx

Для этого найдем первообразную этой функции:

∫(x - x² + 2) dx = (x²/2 - x³/3 + 2x) + C

Теперь применим формулу интеграла Фруллани на промежутке [0, 2]:

S = ∫[(x + 3) - (x² + 1)] dx = [(2²/2 - 2³/3 + 2*2) - (0²/2 - 0³/3 + 2*0)] = [(4/2 - 8/3 + 4) - (0/2 - 0/3 + 0)] = [(2 - 8/3 + 4) - (0 - 0 + 0)] = [2 - 8/3 + 4] = [6/3 - 8/3 + 12/3] = [10/3]

Получившаяся площадь криволинейной трапеции равна 10/3 или 3.33 единицы площади.