Question

Числа 2; b2; b3; являются первыми тремя членами возрастающей геометрической прогрессии. Если ко второму члену этой прогрессии прибавить 4, то получается три первых члена арифметической прогрессии. Найдите знаменатель исходной геометрической прогрессии​

Answer 1

Відповідь:

Искомый знаменатель геометрической прогрессии равен 3.

Покрокове пояснення:

Числа 2; b2; b3; являются первыми тремя членами возрастающей геометрической прогрессии. Если ко второму члену этой прогрессии прибавить 4, то получаются числа 2; ( b2 + 4 ); b3; образующие первые три члена арифметической прогрессии. Найдите знаменатель исходной геометрической прогрессии​.

Исходная возрастающая геометрическая прогрессия:

b(1) = 2

b(2) = b2 = 2 × q ( 1 )

b(3) = b3 = 2 × q^2 ( 2 )

где q - искомый знаменатель геометрической прогрессии.

Полученная арифметическая прогрессия:

a(1) = 2

a(2) = b2 + 4 = 2 + d ( 3 )

a(3) = b3 = 2 + d × 2 ( 4 )

где d - разность арифметической прогрессии.

Подставим b2 из ( 1 ) в ( 3 ):

2 × q + 4 = 2 + d

2 × q = d - 2

q = ( d - 2 ) / 2 = d/2 - 1 ( 5 )

Возведем q в квадрат:

q^2 = ( d/2 - 1 )^2 = 1/4 × d^2 - d + 1 ( 6 )

Подставим b3 из ( 2 ) в ( 4 ):

2 × q^2 = 2 + d × 2

q^2 = ( 2 + d × 2 ) / 2 = d + 1 ( 7 )

Подставим q из ( 6 ) в ( 7 ):

1/4 × d^2 - d + 1 = d + 1

1/4 × d^2 - d + 1 - d - 1 = 0

1/4 × d^2 - 2 × d + 0 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = 4 - 4 × 1/4 × 0 = 4

d1 = ( 2 + 2 ) / (1/2) = 4 × 2 = 8

d2 = ( 2 - 2 ) / (1/2) = 0 × 2 = 0

Второй корень не подходит, так как не будет арифметической прогрессии ( разность арифметической прогрессии не может быть равна нулю ).

d = 8 - разность арифметической прогрессии.

Подставим d в ( 5 ):

q = d/2 - 1 = 8/2 - 1 = 4 - 1 = 3 - искомый знаменатель геометрической прогрессии.

Проверка:

Исходная возрастающая геометрическая прогрессия:

b(1) = 2

b(2) = b2 = 2 × q = 2 × 3 = 6

b(3) = b3 = 2 × q^2 = 2 × 3^2 = 18

Арифметическая прогрессия, полученная прибавлением 4 ко второму члену геометрической прогрессии:

a(1) = 2

a(2) = b2 + 4 = 6 + 4 = 10

a(3) = b3 = 18

Арифметическая прогрессия, полученная при помощи её разности:

a(1) = 2

a(2) = 2 + d = 2 + 8 = 10

a(3) = 2 + d × 2 = 2 + 8 × 2 = 18

Все правильно.

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен a, а знаменатель прогрессии равен b.

Тогда второй член прогрессии равен ab, а третий член - ab^2.

Если ко второму члену прибавить 4, то получится третий член арифметической прогрессии, то есть ab + 4 = ab^2.

Выразим из этого уравнения b:

ab^2 - ab - 4 = 0.

Решим это квадратное уравн