Question

найдіть частинний розв'язок рівняння y′′−4y′+3y=3x^2−2x−3 , який задовольняє умови {y(0)=1;y′(0)=2. У відповіді надайте значення y(1). Смотреть ответ HSS9860 HSS9860 Ответ:4.Пошаговое объяснение:посмотрите предложенное решение; проверка не проводилась. Ответ отмечен цветным.

Answer 1

Давайте решим данное дифференциальное уравнение второго порядка с начальными условиями.

Данное уравнение: \[y'' - 4y' + 3y = 3x^2 - 2x - 3.\]

Характеристическое уравнение (связанное с однородной частью): \[r^2 - 4r + 3 = 0.\]

Факторизуем его: \[(r-3)(r-1) = 0.\]

Таким образом, корни характеристического уравнения: \[r_1 = 3, \quad r_2 = 1.\]

Следовательно, общее решение однородной части: \[y_h(x) = c_1e^{3x} + c_2e^{x}.\]

Теперь найдем частное решение неоднородной части с помощью метода вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид: \[y_p(x) = u_1(x)e^{3x} + u_2(x)e^x.\]

Найдем производные: \[y_p'(x) = u_1'e^{3x} + u_1 \cdot 3e^{3x} + u_2'e^x + u_2 \cdot e^x,\] \[y_p''(x) = u_1''e^{3x} + 2u_1'e^{3x} + 3u_1e^{3x} + u_2''e^x + u_2'e^x + u_2e^x.\]

Подставим найденные производные в исходное уравнение: \[u_1''e^{3x} + 2u_1'e^{3x} + 3u_1e^{3x} + u_2''e^x + u_2'e^x + u_2e^x - 4(u_1'e^{3x} + u_1 \cdot 3e^{3x} + u_2'e^x + u_2 \cdot e^x) + 3(u_1e^{3x} + u_2e^x) = 3x^2 - 2x - 3.\]

Упростим выражение, учитывая, что \(u_1, u_2\) - функции \(x\): \[u_1''e^{3x} + u_2''e^x + (2u_1' - 12u_1 + u_2' - 4u_2)e^{3x} + (u_2' - 3u_2)e^x = 3x^2 - 2x - 3.\]

Сравниваем коэффициенты при одинаковых экспонентах: \[u_1'' = 0,\] \[u_2'' = 0,\] \[2u_1' - 12u_1 + u_2' - 4u_2 = 0,\] \[u_2' - 3u_2 = 3x^2 - 2x - 3.\]

Интегрируем дважды, чтобы найти \(u_1\) и \(u_2\). Из первых двух уравнений получаем: \[u_1' = c_1,\] \[u_2' = c_2.\]

Интегрируем еще раз: \[u_1 = c_1x + c_3,\] \[u_2 = c_2x + c_4.\]

Подставим в систему из двух последних уравнений: \[2(c_1 - 6c_3) + (c_2 - 4c_4) = 0,\] \[c_2 - 3c_4 = 3x^2 - 2x - 3.\]

Решив данную систему уравнений, найдем значения констант \(c_1, c_2, c_3, c_4\). Подставим эти значения в частное решение: \[y_p(x) = (c_1x + c_3)e^{3x} + (c_2x + c_4)e^x.\]

Теперь найдем полное решение, сложив однородную и частную части: \[y(x) = y_h(x) + y_p(x).\]

Используем начальные условия \(y(0) = 1\) и \(y'(0) = 2\) для определения констант \(c_1, c_2, c_3, c_4\). Подставим их в уравнения и решим систему уравнений.

После нахождения констант, подставим их в частное решение и найдем значение \(y(1)\).