Question

Разложить на множители a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)

Answer 1

Ответ: (a - c)(b - c)(a - b)(a + b + c).

Пошаговое объяснение:

a³(b - c) + b³(c - a) + c³(a - b) = а³b - a³c + b³c - ab³ + ac³ - bc³ =

= (a³b - bc³) - (a³c - ac³) + (b³c - b³a) = b(a³ - c³) - ac(a² - c²) - b³(a - c) =

= b(a - c)(a² + ac + c²) - ac(a - c)(a + c) - b³(a - c) = (a - c)(b(a² + ac + c²) -

- ac(a + c) - b³) = (a - с)(a²b + abc + bc² - a²c - ac² - b³) = (a - c) ×

× ((a²b - a²c) + (abc - ac²) + (bc² - b³)) = (a - c)(a²(b - c) + ac(b - c) - b ×

× (b² - c²) = (a - c)(b - c)(a² + ac - b(b + c)) = (a - c)(b - c)(a² + ac - b² - bc) =

= (a - c)(b - c)(a² - b² + ac - bc) = (a - c)(b - c)((a - b)(a + b) + c(a - b)) =

= (a - c)(b - c)(a - b)(a + b + c).

Answer 2

Для разложения многочлена на множители a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b), мы можем использовать формулу суммы кубов. Формула суммы кубов гласит:

a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)

Мы можем применить эту формулу к нашему многочлену, чтобы разложить его на множители.

a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc

Теперь мы можем разложить каждый куб в формуле на множители:

a^3 = a * a * a b^3 = b * b * b c^3 = c * c * c

Таким образом, мы можем переписать наш многочлен следующим образом:

(a * a * a)(b - c) + (b * b * b)(c - a) + (c * c * c)(a - b)

Теперь мы можем применить формулу разности кубов. Формула разности кубов гласит:

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Используя эту формулу, мы можем разложить каждую разность кубов в нашем многочлене:

(a - b)(a^2 + ab + b^2)(b - c) + (b - c)(b^2 + bc + c^2)(c - a) + (c - a)(c^2 + ac + a^2)(a - b)

Таким образом, мы получили разложение на множители для данного многочлена.