Question

Для функції знайти первісну f(x)=3cos3x, графік якої проходить через точку: A(пи/18; 1)

Answer 1

дивіться фото..........................

Answer 2

Щоб знайти первісну функції \(f(x) = 3\cos(3x)\), тобто знайти функцію \(F(x)\), яка при похідні дорівнює \(f(x)\), використовуючи знання про похідні стандартних функцій.

У цьому випадку ми маємо:

\[f(x) = 3\cos(3x)\]

Знаючи, що похідна від \(\cos(ax)\) є \(-a\sin(ax)\), можемо записати:

\[F(x) = \int 3\cos(3x) \,dx\]

Знаючи правило інтегрування для \(\cos(ax)\), отримуємо:

\[F(x) = \frac{3}{3} \int \cos(3x) \,dx\]

Тепер інтегруємо \(\cos(3x)\), використовуючи правило \(\int \cos(ax) \,dx = \frac{1}{a}\sin(ax)\):

\[F(x) = \sin(3x) + C\]

де \(C\) - константа інтегрування.

Тепер ми можемо використовувати точку \(A\left(\frac{\pi}{18}, 1\right)\), щоб визначити значення константи \(C\):

\[1 = \sin\left(\frac{3\pi}{18}\right) + C\]

\[1 = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + C\]

\[1 = \frac{\sqrt{3}}{2} + C\]

Отже,

\[C = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}.\]

Таким чином, первісна функції \(f(x) = 3\cos(3x)\) є:

\[F(x) = \sin(3x) + \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right).\]