Question

Ваня купил шарики, красных было в 7 раз больше, чем синих. Пока Ваня шёл домой, часть шариков лопнула, причём среди лопнувших шариков красных оказалось в 4 раза меньше, чем синих. Какое наименьшее количество шариков мог купить Ваня?

Answer 1

Ответ:

32 - наименьшее количество шариков, которые мог купить Ваня.

Пошаговое объяснение:

1. Минимально возможное количество лопнувших красных шариков = 1, тогда лопнувших синих шариков будет 1*4 = 4.

2. Минимально возможное начальное количество синих соответственно тоже = 4, тогда красных было 4*7 = 28.

3. Наименьшее количество шариков, которые мог купить Ваня, равняется 4+28 = 32.

Ваня купил всего 32 шарика: 28 красных и 4 синих. Пока Ваня шел домой лопнул 1 красный шарик и 4 синих.

Answer 2

Пусть \( x \) - количество синих шариков, которое Ваня купил. Тогда количество красных шариков будет \( 7x \) (так как красных шариков было в 7 раз больше, чем синих).

После того, как часть шариков лопнула, количество красных шариков уменьшилось в 4 раза, а количество синих - в какое-то количество раз (пусть \( k \)). Таким образом, количество лопнувшихся красных шариков стало \( \frac{7x}{4} \), а количество лопнувшихся синих шариков стало \( \frac{x}{k} \).

Суммарное количество лопнувшихся шариков равно части от общего числа шариков, которые Ваня купил. Предположим, что \( p \) - это доля шариков, которая лопнула (например, \( p = 0.2 \) означает, что лопнула 20% всех шариков).

Уравнение, описывающее это условие, будет следующим: \[ \frac{7x}{4} + \frac{x}{k} = px + (7x - px) \] \[ \frac{7x}{4} + \frac{x}{k} = 7x - (p - \frac{1}{k})x \]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \( k \) и \( x \). Однако, чтобы упростить задачу, давайте предположим, что \( p - \frac{1}{k} = \frac{1}{4} \) (это значение \( p \) приведет к наименьшему количеству шариков, которые мог купить Ваня).

Тогда уравнение примет следующий вид: \[ \frac{7x}{4} + \frac{x}{k} = 7x - \frac{1}{4}x \]

Умножим обе стороны на \( 4k \) (чтобы избавиться от дробей): \[ 7kx + 4x = 28kx - x \]

Теперь выразим \( k \) относительно \( x \): \[ 4x + x = 28kx - 7kx \] \[ 5x = 21kx \] \[ k = \frac{5}{21} \]

Теперь у нас есть значение \( k \). Подставим его обратно в уравнение для общего количества красных шариков: \[ \frac{7x}{4} + \frac{x}{\frac{5}{21}} = \frac{7x}{4} + \frac{21x}{5} = \frac{7x}{4} + \frac{84x}{20} \]

Теперь найдем общее количество шариков, которые Ваня купил: \[ 7x + \frac{7x}{4} + \frac{84x}{20} = \frac{140x + 35x + 84x}{20} = \frac{259x}{20} \]

Таким образом, наименьшее количество шариков (\( x \)) будет таким, что \( 259x \) делится на \( 20 \) без остатка. Найдем наименьшее такое положительное целое число \( x \):

\[ 259x \mod 20 = 0 \]

Ищем \( x \): \[ x = 20 \]

Таким образом, наименьшее количество шариков, которое мог купить Ваня, равно 20.