Question

Вероятность своевременной уплаты налогов для каждого из предприятий равняется 0,75. Построить ряд распределения и функции распределения случайной величины Х – числа предприятий, что уплатили налоги с четырех наугад избранных. Найти числовые характеристики этой случайной величины

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

p = 0,75 = 3/4

q = 1 - p = 1 - 3/4 = 1/4

1)

Вероятность того, все предприятия (X=4) уплатили налог:

p₄ = p⁴ = (3/4)⁴ = 81 / 256

2)

Вероятность того, 3 предприятия (X=3) уплатили налог, а одно предприятие не уплатило:

p₃ = p³·q = (3/4)³·(1/4)  = 27 / 256

3)

Вероятность того,  2 предприятия (X=2) уплатили налог, а два предприятие не уплатило:

p₂ = p²·q² = (3/4)²·(1/4)²  = 9 / 256

4)

Вероятность того,  1 предприятие (X=1) уплатили налог, а три  предприятие не уплатило:

p₁ = p¹·q³ = (3/4)·(1/4)³  = 3 / 256

5)

Вероятность того,  ни одно прдприятие не уплатило налог (X=0):

p₀ = q⁴ = (1/4)⁴  = 1/256

6)

Строим ряд распределения:

X |       0           1             2            3             4    

p |    1/256    3/256    9/256    27/256    81/256

Математическое ожидание:

М(X) = 0·(1/256) + 1·(3/256) + 2·(9/256) + 3·(27/256) + 4·(81/256) =

= (0 + 3 + 18 + 81 + 324) / 256 = 426 / 256 ≈ 1,67

Математическое ожидание X²:

М(X²) = 0²·(1/256) + 1²·(3/256) + 2²·(9/256) + 3²·(27/256) + 4²·(81/256) =

= (0 + 3 + 36 +  243 + 1296) / 256 = 1578 / 256 ≈ 6,16

Дисперсия:

D(X) = M(X²) - [M(X)}² = 6,16 - 1,67² ≈ 3,37

Среднее квадратическое отклонение:

σ = √ D(X) = √ 3,37 ≈ 1,8

Answer 2

Давайте решим задачу. Предположим, что у нас есть \( N \) предприятий, и вероятность того, что каждое из них своевременно уплатит налоги, равна \( 0.75 \). Тогда вероятность того, что конкретное предприятие не уплатит налоги, составляет \( 1 - 0.75 = 0.25 \).

Случайная величина \( X \) - это количество предприятий, которые уплатили налоги среди четырех наугад выбранных. Эта случайная величина может принимать значения от 0 до 4.

Теперь построим ряд распределения для \( X \):

\[ \begin{align*} P(X = 0) & : \binom{4}{0} \times (0.75)^4 \times (0.25)^0 \\ P(X = 1) & : \binom{4}{1} \times (0.75)^3 \times (0.25)^1 \\ P(X = 2) & : \binom{4}{2} \times (0.75)^2 \times (0.25)^2 \\ P(X = 3) & : \binom{4}{3} \times (0.75)^1 \times (0.25)^3 \\ P(X = 4) & : \binom{4}{4} \times (0.75)^0 \times (0.25)^4 \\ \end{align*} \]

где \( \binom{n}{k} \) - это биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Теперь найдем числовые характеристики этой случайной величины:

1. Математическое ожидание (среднее): \[ E(X) = \sum_{k=0}^{4} k \cdot P(X = k) \]

2. Дисперсия: \[ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \]

3. Стандартное отклонение: \[ \sigma = \sqrt{\text{Var}(X)} \]

Решим эти уравнения, используя ранее найденные вероятности \( P(X = k) \).