Question

Знайдіть суму чотирьох перших членів геометричної прогресії (bn ), зі знаменником q, якщо b2=12; b5=324.​

Answer 1

дивіться фото........................

Answer 2

Давайте позначимо перший член геометричної прогресії як \( b_1 \) і знаменник як \( q \). Тоді загальний член прогресії можна виразити як \( b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)} \).

За наданою інформацією відомо, що \( b_2 = 12 \) і \( b_5 = 324 \). Запишемо це у вигляді рівнянь:

1. Для \( n = 2 \): \( b_2 = b_1 \cdot q^{(2-1)} = 12 \). 2. Для \( n = 5 \): \( b_5 = b_1 \cdot q^{(5-1)} = 324 \).

Розв'яжемо ці рівняння для знаходження \( b_1 \) і \( q \).

1. З рівняння \( b_2 = 12 \): \[ b_1 \cdot q = 12 \]

2. З рівняння \( b_5 = 324 \): \[ b_1 \cdot q^4 = 324 \]

Тепер розв'яжемо ці два рівняння, де \( b_1 \cdot q = 12 \) (1) і \( b_1 \cdot q^4 = 324 \) (2).

Множимо обидва боки (1) на \( q^3 \): \[ b_1 \cdot q^4 = 12 \cdot q^3 \]

Тепер порівнюємо отримане рівняння з (2): \[ 12 \cdot q^3 = 324 \]

Розділімо обидва боки на 12: \[ q^3 = 27 \]

Тепер знаходимо значення \( q \): \[ q = \sqrt[3]{27} = 3 \]

Тепер, коли ми знаходимо \( q = 3 \), можемо підставити його у (1) для знаходження \( b_1 \): \[ b_1 \cdot 3 = 12 \] \[ b_1 = 4 \]

Отже, ми знаходимо, що перший член \( b_1 = 4 \) і знаменник \( q = 3 \).

Тепер можна знайти суму перших чотирьох членів геометричної прогресії за формулою: \[ S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1} \]

Для \( n = 4 \): \[ S_4 = \frac{4 \cdot (3^4 - 1)}{3 - 1} \] \[ S_4 = \frac{4 \cdot (81 - 1)}{2} \] \[ S_4 = \frac{4 \cdot 80}{2} \] \[ S_4 = \frac{320}{2} \] \[ S_4 = 160 \]

Отже, сума перших чотирьох членів геометричної прогресії дорівнює 160.