Question

1)вычислите интеграл от 2 до 1 (8x^3-6x-1) dx 2)вычислите предварительно сделав рисунок площадь фигуры ограниченной линиями а)y=x^2-2x+3; x=1; x=-1; y=0 б)y=1/2*x^2+1; y=5,5 желательно ещё бы все действия расписать как это сделать

Answer 1

Ответ:

1. 20
2. a) $\frac{20}{3}$ b) 18

Пошаговое объяснение:

1.

$\displaystyle \int\limits^2_1 {8x^3-6x-1} \, dx =\int\limits^2_1 {8x^3}\,dx -\int\limits^2_1{6x} \, dx -\int\limits^2_1\,dx$

по формуле

$\displaystyle \int {x^n} \, dx =\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$

вычислим дальше

$\displaystyle = 8\cdot\dfrac{x^{3+1}}{3+1}\Bigg|\limits^2_1~-~6\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}\Bigg|\limits^2_1~-~x}\Bigg|\limits^2_1~~=~~2x^4\Bigg|\limits^2_1~-~3x^2\Bigg|\limits^2_1~-~x}\Bigg|\limits^2_1~~=\\\\=~2\cdot(2^4-1^4)-3\cdot(2^2-1^2)-(2-1)=30-9-1=20$

2. a)

Фигура ограничена линиями $y=x^2-2x+3,~ x=1,~ x=-1,~ y=0$

Обратим внимания на границы $x=1,~ x=-1,~ y=0$. Это две вертикальные прямые (область между ними от -1 до 1 по x) и горизонтальная прямая - ось абсцисс ($y=0$).

Нахождение площади свелось к нахождению интеграла

$\displaystyle \int\limits^1_{-1} {x^2-2x+3} \, dx$

Найдем интеграл по той же формуле

$\displaystyle \int\limits^1_{-1} {x^2-2x+3} \, dx = {\dfrac{x^{3}}{3}-2\cdot\dfrac{x^{2}}{2}+3x} ~\Bigg|\limits^1_{-1} = {\dfrac{x^{3}}{3}-x^{2}+3x} ~\Bigg|\limits^1_{-1} =\dfrac13\Big(1^3-(-1)^3\Big)-\Big(1^2-(-1)^2\Big)+3\cdot\big(1-(-1)\big)= \dfrac{2}{3}+6=\dfrac{20}3$

2. b)

Фигура ограничена линиями $y=\dfrac12x^2+1,~ y=5.5$

Обратим внимание, что если мы из первого уравнения вычтем верхнюю границу 5.5, то площадь тоже можно найти определенным интегралом, пределы интегрирования - корни получившегося квадратного уравнения. Найдем их

$\displaystyle\dfrac12x^2+1-5.5=0\\\\x^2+2-11=0\\x^2=9\\\\\left [ {{x=3} \atop {x=-3}} \right.$

Запишем и найдем интеграл

$\displaystyle \int\limits^3_{-3} {\dfrac12x^2-4.5} \, dx= \dfrac{x^{3}}{6}-4.5x ~\Bigg|\limits^3_{-3} =\dfrac16\cdot\Big((3)^3-(-3)^3\Big)-4.5\cdot\big(3-(-3)\big)=9-27=-18$Площадь положительная, смело берем по модулю

Answer 2

Конечно, давайте начнем с первого вопроса, вычисления интеграла:

1) Вычислим интеграл \(\int_{1}^{2} (8x^3 - 6x - 1) \,dx\).

Сначала найдем первообразную для каждого слагаемого:

\[\int 8x^3 \,dx = \frac{8}{4}x^4 = 2x^4\] \[\int (-6x) \,dx = -\frac{6}{2}x^2 = -3x^2\] \[\int (-1) \,dx = -x\]

Теперь найдем определенный интеграл:

\[\int_{1}^{2} (8x^3 - 6x - 1) \,dx = \left[2x^4 - 3x^2 - x\right]_{1}^{2}\]

Подставим верхний предел:

\[= (2(2)^4 - 3(2)^2 - 2) - (2(1)^4 - 3(1)^2 - 1)\]

\[= (32 - 12 - 2) - (2 - 3 - 1)\]

\[= 18 - (-2) = 20\]

Таким образом, \(\int_{1}^{2} (8x^3 - 6x - 1) \,dx = 20\).

Теперь перейдем ко второму вопросу и вычислению площади фигуры, ограниченной кривыми:

2) Построим графики обеих функций \(y\) относительно \(x\):

а) \(y = x^2 - 2x + 3\), \(x = 1\), \(x = -1\), \(y = 0\)

б) \(y = \frac{1}{2}x^2 + 1\), \(y = 5.5\)

Сначала рассмотрим график функции \(y = x^2 - 2x + 3\):

\[y = x^2 - 2x + 3\]

Это квадратичная функция, и для поиска пересечений с осями координат решим уравнение \(y = 0\):

\[x^2 - 2x + 3 = 0\]

Это уравнение не имеет действительных корней, поэтому график функции \(y = x^2 - 2x + 3\) не пересекает ось \(x\).

Теперь рассмотрим линии \(x = 1\) и \(x = -1\). Это вертикальные линии, проходящие через точки \(x = 1\) и \(x = -1\) соответственно.

Теперь построим график функции \(y = \frac{1}{2}x^2 + 1\):

\[y = \frac{1}{2}x^2 + 1\]

Это также квадратичная функция. Теперь найдем точку пересечения с горизонтальной линией \(y = 5.5\):

\[\frac{1}{2}x^2 + 1 = 5.5\]

\[\frac{1}{2}x^2 = 4.5\]

\[x^2 = 9\]

\[x = \pm 3\]

Таким образом, график пересекается с осью \(x\) в точках \(-3\) и \(3\).

Теперь посмотрим на графики нашей фигуры:


Площадь фигуры ограничена функциями \(y = x^2 - 2x + 3\), \(x = 1\), \(x = -1\), \(y = 0\), \(y = \frac{1}{2}x^2 + 1\) и \(y = 5.5\).

Чтобы вычислить площадь, разобьем ее на две части: отрезок \([-1, 1]\) и отрезок \([1, 3]\), и затем сложим площади этих двух частей.

Площадь первой части (отрезок \([-1, 1]\)):

\[S_1 = \int_{-1}^{1} (x^2 - 2x + 3) \,dx\]

Площадь второй части (отрезок \([1, 3]\)):

\[S_2 = \int_{1}^{3} (\frac{1}{2}x^2 + 1) \,dx\]

Теперь вычислим эти интегралы:

\[S_1 = \left[\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 3x\right]_{-1}^{1}\]

\[= \left(\frac{1}{3}(1)^3 - (1)^2 + 3(1)\right) - \left(\frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 + 3(-1)\right)\]

\[= \frac{1}{3} + 4 - 2 - \left(-\frac{1}{3} + 1 - 3\right)\]

\[= \frac{1}{3} + 4 - 2 + \frac{1}{3} - 1 + 3\]

\[= \frac{5}{3} + \frac{1}{3} + 1 = \frac{7}{3}\]

\[S_2 = \left[\frac{1}{6}x^3 + x\right]_{1}^{3}\]

\[= \left(\frac{1}{6}(3)^3 + 3\right) - \left(\frac{1}{6}(1)^3 + 1\right)\]

\[= \frac{27}{6} + 3 - \frac{1}{6} - 1\]

\[= \frac{26}{6} + 2 = \frac{17}{3}\]

Теперь сложим