Question

При каком значении параметра a дифференциальное уравнение y"+2y'+ay=0 имеет решение вида y=e^x

Answer 1

Ответ:

Дифференциальное уравнение $(e^{x})''+ 2(e^{x})' + ae^{x} = 0$ имеет решение вида $y = e^{x}$ при $\boxed{\boldsymbol{ a = -3}}$

Пошаговое объяснение:

Дифференциальное уравнение:

$y'' + 2y' + ay = 0$

Решение: $y = e^{x}$

Находим параметр $a$:

$(e^{x})''+ 2(e^{x})' + ae^{x} = 0$

$e^{x} + 2e^{x} + ae^{x} = 0|:e^{x}$

$1 + 2 + a = 0$

$3 + a = 0$

$a = -3$

Answer 2

Чтобы дифференциальное уравнение \(y'' + 2y' + ay = 0\) имело решение вида \(y = e^x\), подставим это решение в уравнение и найдем соответствующее значение параметра \(a\).

Для функции \(y = e^x\), первая и вторая производные будут:

\[y' = e^x\] \[y'' = e^x\]

Теперь подставим эти значения в дифференциальное уравнение:

\[e^x + 2e^x + ae^x = 0\]

Факторизуем выражение:

\[e^x(1 + 2 + a) = 0\]

Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это произведение равно нулю только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два случая:

1. \(e^x = 0\). Однако экспоненциальная функция \(e^x\) всегда положительна, поэтому этот случай не подходит.

2. \(1 + 2 + a = 0\). Решив это уравнение относительно \(a\), мы получим значение параметра:

\[a = -3\]

Таким образом, при \(a = -3\) дифференциальное уравнение \(y'' + 2y' - 3y = 0\) имеет решение вида \(y = e^x\).