Question

Найти полный дифференциал функции двух переменных z=cos(xy)

Answer 1

Ответ:

$dz = - y \sin(xy) dx - x \sin(xy) dy$

Пошаговое объяснение:

Формула полного дифференциала:

$dz = \frac{df}{dx} dx + \frac{df}{dy}dy$

Считаем производные функции по х и у, домножаем соответственно на dx и dy, складываем и получаем полный дифференциал.

Answer 2

Давайте найдем полный дифференциал функции \( z = \cos(xy) \).

Полный дифференциал функции \( z \) относительно переменных \( x \) и \( y \) записывается следующим образом:

\[ dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy \]

Для начала найдем частные производные функции \( z = \cos(xy) \) по переменным \( x \) и \( y \):

1. Частная производная по \( x \):

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = -y \sin(xy) \]

2. Частная производная по \( y \):

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = -x \sin(xy) \]

Теперь подставим эти значения в формулу полного дифференциала:

\[ dz = (-y \sin(xy))dx + (-x \sin(xy))dy \]

Таким образом, полный дифференциал функции \( z = \cos(xy) \) равен:

\[ dz = -y \sin(xy)dx - x \sin(xy)dy \]

Это и есть полный дифференциал для данной функции по переменным \( x \) и \( y \).