Question

Найти производную функции используя логарифмическое дифференцирование

Answer 1

$></p><p><img src=$

Answer 2

Да, конечно! Давайте рассмотрим процесс нахождения производной функции с использованием логарифмического дифференцирования. Предположим, у нас есть функция \(y = f(x)\), и мы хотим найти её производную.

1. Логарифмическое дифференцирование: Воспользуемся свойствами логарифмов, а именно правилом логарифмического дифференцирования: Если \(y = f(x)\), то \(\ln(y) = \ln(f(x))\), и производная \(\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}\) равна производной логарифма \(\ln(f(x))\).

2. Процесс: a. Возьмем логарифм от обеих сторон уравнения: \(\ln(y) = \ln(f(x))\). b. Продифференцируем обе стороны по переменной \(x\), используя цепное правило (chain rule).

c. Выразим \(\frac{dy}{dx}\) (производную \(y\) по \(x\)).

3. Пример: Пусть \(y = x^2\). Мы хотим найти производную этой функции.

a. Возьмем логарифм от обеих сторон: \(\ln(y) = \ln(x^2)\).

b. Продифференцируем обе стороны по \(x\): \[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2} \cdot 2x. \]

c. Выразим \(\frac{dy}{dx}\): \[ \frac{dy}{dx} = 2x \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{2}{x}. \]

Таким образом, производная функции \(y = x^2\) равна \(\frac{2}{x}\).

Это базовый пример. Применение логарифмического дифференцирования часто упрощает вычисления при работе с сложными функциями.