Question

докажите что при любых значениях х значение многочлена всегда положительно х2 - 14 х +55; х2 - 12х + 40

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) х²-14х+55

запишем как

(х²-14х+49)-49+55

(х²-14х+49) это квадрат разности, запишем его как

(х+7)²+6

выражение  (х+7)²≥0, при любых значениях х, т.к. число в квадрате всегда положительно

+6 положительное число

Сумма положительных чисел всегда положительная

2) х²-12х+40

(х²-12х+36)-36+40

(х-6)²+4

(х-6)²≥0 при любых значениях х

+4 положительное число

Сумма положительных чисел всегда положительная

Answer 2

Для доказательства утверждения о том, что при любых значениях х значение данных многочленов всегда положительно, можно воспользоваться методом завершения квадратов. Метод заключается в том, чтобы привести многочлены к виду квадратного трехчлена и показать, что у него дискриминант отрицателен, что означает, что корни многочлена не существуют, и он всегда положителен.

1. Многочлен: х^2 - 14х + 55 Для начала, найдем вершину параболы, которую описывает этот многочлен. Вершина квадратного трехчлена с коэффициентами a, b и c имеет координаты (h, k), где h = -b / (2a) и k = f(h).

Для многочлена х^2 - 14х + 55, a = 1, b = -14 и c = 55. h = -(-14) / (2 * 1) = 14 / 2 = 7. k = (7)^2 - 14(7) + 55 = 49 - 98 + 55 = 6.

Теперь у нас есть вершина (7, 6). Поскольку коэффициент а при х^2 положительный (1), это означает, что парабола направлена вверх, и минимальное значение многочлена равно k = 6.

Поскольку многочлен направлен вверх и имеет минимальное значение 6 на оси y (когда х = 7), это означает, что для всех значений х его значение будет больше или равно 6. Таким образом, многочлен х^2 - 14х + 55 всегда положителен.

2. Многочлен: х^2 - 12х + 40 Аналогично для этого многочлена, найдем его вершину: a = 1, b = -12, c = 40. h = -(-12) / (2 * 1) = 12 / 2 = 6. k = (6)^2 - 12(6) + 40 = 36 - 72 + 40 = 4.

Вершина (6, 4). Поскольку коэффициент а при х^2 положительный (1), парабола направлена вверх, и минимальное значение многочлена равно 4.

Таким образом, аналогично первому многочлену, многочлен х^2 - 12х + 40 всегда положителен.

Вывод: Оба многочлена, х^2 - 14х + 55 и х^2 - 12х + 40, всегда положительны при любых значениях х.