Question

Определите точки максимума функции F(x)=3+8x^2-x^4

Answer 1

F(x) = 3 + 8x² - x⁴

f(x) = 18x - 4x³

f(x)' = 18 - 12x²

{ 18x - 4x³ = 0

{ 18 - 12x² < 0

x(18-4x²) = 0

[ x = 0

[ 18 - 4x² = 0

[ x = 0

[ x² = 9/2

[ x = 0

[ x = +-3√2/2

18 - 12x² < 0

3 - 2x² < 0

x² < 3/2

9/2 > 3/2 => х ≠ +-3√2/2 => х = 0 => F(x) = 3 + 0 - 0 = 3

Ответ: (0; 3).

Answer 2

Для определения точек максимума функции F(x) = 3 + 8x^2 - x^4, нужно найти производную этой функции и приравнять её к нулю, чтобы найти критические точки. Затем используем тест первой производной, чтобы определить, является ли каждая критическая точка точкой максимума, минимума или точкой перегиба.

1. Найдем производную функции F(x): F'(x) = 16x - 4x^3

2. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: 16x - 4x^3 = 0 4x(4 - x^2) = 0 Таким образом, критические точки x = 0, x = 2 и x = -2.

3. Для определения типа каждой критической точки используем тест первой производной: При x = 0: F''(0) = -4*0 = 0, тест не дает определенного результата. При x = 2: F''(2) = -4*2 = -8, тест показывает, что это точка максимума. При x = -2: F''(-2) = -4*(-2) = 8, тест показывает, что это точка минимума.

Таким образом, точка максимума функции F(x) = 3 + 8x^2 - x^4 находится при x = 2.