Question

А n – арифметическая прогрессия. Найдите A8 , если A7+A8+A9=70. Варианты ответа:1)17и1/2 2)33и 1/3 3) 23и1/3 4) 35 Мне нужно полное решение, я не знаю как это решить.

Answer 1

Ответ:

$3) 23\dfrac{1}{3} .$

Пошаговое объяснение:

Арифметическая прогрессия - это последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему, сложенную с одним и тем же числом.

И если заданы три последовательных члена прогрессии, то сумма крайних равна удвоенному среднему.

По условию

$a{_7}+a{_8}+a{_9}=70$

По характеристическому свойству

$a{_7}+a{_9}=2\cdot a{_8}$

$a{_8}+2\cdot a{_8}=70;\\3\cdot a{_8}=70$

$a{_8}=70:3;\\\\a{_8}=\dfrac{70}{3} ;\\\\a{_8}=23\dfrac{1}{3}$

Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, числитель делят на знаменатель с остатком: частное дает целую часть, остаток – числитель, а делитель – знаменатель дробной части.

Тогда получим ответ

$3) 23\dfrac{1}{3} .$

Answer 2

Конечно, начнем с основ. Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждый следующий член получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа, называемого шагом прогрессии.

Если обозначить первый член арифметической прогрессии как \(A_1\) и шаг прогрессии как \(d\), то \(A_n = A_1 + (n - 1) \cdot d\), где \(A_n\) — это n-й член прогрессии.

Из условия задачи нам дано, что \(A_7 + A_8 + A_9 = 70\). Мы можем воспользоваться формулой для \(A_n\) и составить уравнение:

\(A_7 + A_8 + A_9 = (A_1 + 6d) + (A_1 + 7d) + (A_1 + 8d) = 70\)

Теперь объединим подобные члены и упростим выражение:

\(3A_1 + 21d = 70\)

Теперь нам нужно выразить один из членов через другой, чтобы решить это уравнение. Давайте воспользуемся другим свойством арифметической прогрессии: \(A_n - A_{n-1} = d\).

Это означает, что разница между соседними членами прогрессии всегда равна шагу прогрессии \(d\).

Из этого следует:

\(A_8 - A_7 = A_9 - A_8 = d\)

Теперь мы можем выразить \(d\) из этой системы уравнений:

\(A_8 - A_7 = A_9 - A_8 = d\)

Теперь мы имеем систему уравнений:

\(A_8 - A_7 = d\)

\(A_9 - A_8 = d\)

Заметим, что \(A_9 - A_8 = A_8 - A_7\), поэтому можно заменить одно выражение другим:

\(A_8 - A_7 = A_8 - A_7 = d\)

Таким образом, мы получаем, что \(d = A_8 - A_7 = A_9 - A_8 = d\).

Теперь вернемся к уравнению \(3A_1 + 21d = 70\) и подставим \(d = A_8 - A_7\):

\(3A_1 + 21(A_8 - A_7) = 70\)

Давайте выразим \(A_1\) через \(A_7\), используя формулу \(A_n = A_1 + (n - 1) \cdot d\):

\(A_1 = A_7 - 6d\)

Подставим это значение \(A_1\) в уравнение:

\(3(A_7 - 6d) + 21d = 70\)

Раскроем скобки:

\(3A_7 - 18d + 21d = 70\)

Упростим:

\(3A_7 + 3d = 70\)

Теперь выразим \(d\) через \(A_7\) и решим уравнение:

\(d = \frac{70 - 3A_7}{3}\)

Исходя из условия, что \(A_7 + A_8 + A_9 = 70\), мы знаем, что сумма трех последовательных членов равна 70. Поскольку \(A_8 - A_7 = d\), можно выразить \(A_8\) через \(A_7\) и \(d\):

\(A_8 = A_7 + d\)

Теперь подставим значение \(d\):

\(A_8 = A_7 + \frac{70 - 3A_7}{3}\)

Раскроем скобки:

\(A_8 = \frac{3A_7 + 70 - 3A_7}{3}\)

Упростим:

\(A_8 = \frac{70}{3}\)

Таким образом, \(A_8 = 23\frac{1}{3}\). Так что правильный ответ — 3) 23 и 1/3.