Question

Найти: sina и cosa, если tga = 15/8 и п< а< 3п/2​

Answer 1

Дано:

$tg\alpha =\frac{15}{8}$

$\pi$

Найти: $sin\alpha ;$    $cos\alpha$

Решение

1)  Если  $\pi$,  то      $sin\alpha$ и  $cos\alpha$  - отрицательные.

Из формулы  $1+tg^2\alpha =\frac{1}{cos^2\alpha }$   получаем  $cos^2\alpha =\frac{1}{1+tg^2\alpha }$

$cos\alpha =-\sqrt{ \frac{1}{1+tg^2\alpha } }$

$cos\alpha =-\sqrt{ \frac{1}{1+(\frac{15}{8} )^2} } =-\sqrt{ \frac{64}{64+225} } =-\sqrt{ \frac{64}{289} } =-\frac{8}{17}$

           $cos\alpha =-\frac{8}{17}$

2)   Из формулы  $sin^2\alpha +cos^2\alpha =1$  получаем  $sin^2\alpha =1-cos^2\alpha$

$sin\alpha =-\sqrt{1-cos^2\alpha }$

$sin\alpha =-\sqrt{1-(-\frac{8}{17})^2 } =-\sqrt{1-\frac{64}{289} } =-\sqrt{\frac{225}{289} } =-\frac{15}{17}$

       $sin\alpha =-\frac{15}{17}$

Ответ:   $sin\alpha =-\frac{15}{17}$

             $cos\alpha =-\frac{8}{17}$

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся основными тригонометрическими тождествами:

\[ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \]

Также, у нас дано, что \(\tan(\alpha) = \frac{15}{8}\), и из условия известно, что \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2} \).

1. Записываем уравнение тангенса:

\[ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{15}{8} \]

2. Решаем уравнение относительно синуса и косинуса:

\[ \sin(\alpha) = \tan(\alpha) \cdot \cos(\alpha) \]

\[ \cos(\alpha) = \frac{\tan(\alpha)}{\sin(\alpha)} \]

3. Подставляем значение \(\tan(\alpha) = \frac{15}{8}\):

\[ \sin(\alpha) = \frac{15}{8} \cdot \cos(\alpha) \]

\[ \cos(\alpha) = \frac{\frac{15}{8}}{\sin(\alpha)} \]

4. Воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\) для нахождения \(\sin(\alpha)\).

\[ \sin^2(\alpha) + \left(\frac{\frac{15}{8}}{\sin(\alpha)}\right)^2 = 1 \]

5. Решаем получившееся уравнение для \(\sin(\alpha)\).

6. После нахождения \(\sin(\alpha)\), подставляем его обратно в уравнения для \(\sin(\alpha)\) и \(\cos(\alpha)\) для нахождения \(\cos(\alpha)\).

7. Получаем значения \(\sin(\alpha)\) и \(\cos(\alpha)\).

Обратите внимание, что так как \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), то синус отрицателен. Таким образом, возможны два значения для синуса и косинуса, учитывая их знаки в разных квадрантах.