Question

Із точки до кола проведено дві дотичні, кут між якими α. Знайдіть радіус кола та відстань між точками дотику, якщо довжина відрізка дотичної дорівнює m.

Answer 1

При проведенні двох дотичних від точки до кола, утворюється кут α. Ці дві дотичні мають спільну точку дотику, а радіус кола проходить через цю точку і перпендикулярний до дотичних. Отже, можна побудувати прямокутний трикутник зі сторонами, які представляють радіус кола, відстань між точками дотику і відрізком дотичної.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику гіпотенуза (радіус кола) дорівнює квадратному кореню суми квадратів катетів (відстань між точками дотику і відрізок дотичної). Позначимо радіус кола як r, а відстань між точками дотику як d. Тоді, за теоремою Піфагора:

r^2 = (d/2)^2 + m^2

Зауважимо, що відстань між точками дотику дорівнює довжині міжцентрового відрізка (з точки дотику до центру кола).

Таким чином, ми отримали систему рівнянь: r^2 = (d/2)^2 + m^2 d = 2r

Розв'язавши цю систему рівнянь, ми зможемо знайти радіус кола та відстань між точками дотику.

За першим рівнянням, маємо: r^2 = (d/2)^2 + m^2

За другим рівнянням, маємо: d = 2r

Підставимо друге рівняння в перше: r^2 = [(2r)/2]^2 + m^2 r^2 = r^2 + m^2 0 = m^2

Отримали, що m^2 = 0. Це значить, що довжина відрізка дотичної (m) дорівнює нулю. Така ситуація неможлива, оскільки дотична до кола повинна мати певну довжину.

Тому, задача не має розв'язку.