Question

№ 7. На доске написано число 1234567891234567891234567 Двое по очереди вычеркивают цифры. Проигрывает тот, после чьего хода либо не осталось цифр, либо число, образованное ими, делится на 3. Кто выиграет независимо от игры соперника? Даю 40 баллов​

Answer 1

Ответ: 2 игрок

Пошаговое объяснение: заметим, что в начале игры у числа остаток от деления на 3 равен двум. Тогда посчитаем кол-во в этом числе цифр с остатком 1 (9), 2(8) и 0(8). Тогда заметим, что выигрышной стратегией будет являться симметрия, те при ходе соперника мы будем делать так, чтобы остаток стал равен 2 снова (на 1 отвечаем 2, на 0 отвечаем 0, а 2 не может быть тк число станет кратно 3). Тогда заметим, что после хода по нашей стратегии у игрока во 1 останется хотя бы одна цифра (иначе остаток был бы равен 0), а во 2 число не будет кратно 3. Также заметим, что 2 игрок выигрывает при использовании данной стратегии, тк после его хода кол-во цифр всегда нечетно, поэтому когда-то после его хода останется одна цифра и ее удали 1 игрок, тем самым проигрывая. также заметим, что нам всегда будет хватать цифр для выполнения хода, тк если мы действовали симметрично и у оппонента хватило цифр для хода, то у нас тоже хватит

Answer 2

The Problem:

На доске написано число 1234567891234567891234567. Двое по очереди вычеркивают цифры. Проигрывает тот, после чьего хода либо не осталось цифр, либо число, образованное ими, делится на 3. Кто выиграет независимо от игры соперника?

Solution:

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим, какие цифры можно вычеркнуть, чтобы число, образованное оставшимися цифрами, не делилось на 3.

Мы знаем, что число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Таким образом, чтобы число, образованное оставшимися цифрами, не делилось на 3, мы должны избегать вычеркивания цифр, которые вносят вклад в сумму, кратную 3.

В числе 1234567891234567891234567, сумма всех цифр равна 99. Это число не делится на 3, поэтому мы должны избегать вычеркивания цифр, которые вносят вклад в сумму, кратную 3.

Winning Strategy:

Изначально, чтобы не дать сопернику возможность выиграть, мы можем вычеркнуть одну из цифр, которая вносит вклад в сумму, кратную 3. Например, мы можем вычеркнуть цифру 1.

После этого, независимо от того, какие цифры будет вычеркивать соперник, мы всегда можем выбирать цифры таким образом, чтобы сумма оставшихся цифр не делилась на 3. Мы можем следовать следующей стратегии:

1. Если соперник вычеркнул цифру, которая вносит вклад в сумму, кратную 3, мы можем вычеркнуть цифру, которая также вносит вклад в сумму, кратную 3. Например, если соперник вычеркнул цифру 2, мы можем вычеркнуть цифру 4.

2. Если соперник вычеркнул цифру, которая не вносит вклад в сумму, кратную 3, мы можем вычеркнуть цифру, которая вносит вклад в сумму, кратную 3. Например, если соперник вычеркнул цифру 5, мы можем вычеркнуть цифру 3.

3. Если соперник вычеркнул цифру, которая вносит вклад в сумму, кратную 3, и мы не можем вычеркнуть цифру, которая также вносит вклад в сумму, кратную 3, мы можем вычеркнуть любую другую цифру. Например, если соперник вычеркнул цифру 6, и мы уже вычеркнули цифры 1 и 4, мы можем вычеркнуть цифру 7.

Следуя этой стратегии, мы всегда можем гарантировать, что число, образованное оставшимися цифрами, не будет делиться на 3. Таким образом, мы выиграем независимо от игры соперника.

Conclusion:

В данной игре, независимо от игры соперника, мы всегда можем выиграть, следуя определенной стратегии.

Answer 3

Это интересная задача на деление числа на 3 путем удаления цифр. Давайте разберемся.

Если сумма всех цифр в числе делится на 3, то само число также делится на 3. Это правило можно применить здесь.

Изначальное число: 1234567891234567891234567

Сумма всех цифр в этом числе = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+2+3+4+5+6+7 = 135

Сумма цифр равна 135. Это число делится на 3 без остатка.

Это означает, что независимо от хода игроков, они всегда могут выбрать цифры так, чтобы получившееся число всегда делилось на 3. Таким образом, победить можно выигрывая, следуя этой стратегии.