Question

Нужно построить график функции 1/(х^2+х) с исследованиями ​

Answer 1

Конечно, давай разберёмся! Функция \(f(x) = \frac{1}{{x^2 + x}}\) представляет собой рациональную функцию, где знаменатель содержит квадратичный член. Чтобы построить график этой функции, нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ):

Область допустимых значений - это множество значений \(x\), при которых функция определена. Для данной функции \(x^2 + x\) не может быть равным нулю, так как деление на ноль запрещено. Решим уравнение \(x^2 + x = 0\) для определения значений, которые не входят в область определения функции.

\(x^2 + x = 0\)

\(x(x + 1) = 0\)

\(x = 0\) или \(x + 1 = 0\)

Отсюда \(x = 0\) или \(x = -1\).

Таким образом, область допустимых значений функции \(f(x)\) - все вещественные числа, кроме \(x = 0\) и \(x = -1\).

2. Найти точки пересечения с осями координат:

Чтобы найти точки пересечения с осями координат, решим уравнение \(f(x) = 0\), чтобы найти точку пересечения с осью \(x\), и также посчитаем значение функции в точке \(x = 0\) для нахождения точки пересечения с осью \(y\).

\[f(x) = \frac{1}{{x^2 + x}} = 0\]

Функция не будет равна нулю, так как знаменатель никогда не достигает значения 0 (из ОДЗ).

Теперь, когда точка пересечения с осью \(y\) - \(x = 0\):

\[f(0) = \frac{1}{{0^2 + 0}} = 1\]

Следовательно, точка пересечения с осью \(y\) - (0, 1).

3. Найти точки экстремума и точки перегиба:

Чтобы найти экстремумы и точки перегиба, необходимо проанализировать производные функции и её вторую производную. Давай найдём их:

\[f(x) = \frac{1}{{x^2 + x}}\]

Найдем первую производную:

\[f'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{{x^2 + x}}\right)\]

Используя правило дифференцирования частного и цепного правила:

\[f'(x) = \frac{-(2x + 1)}{{(x^2 + x)^2}}\]

Теперь найдём вторую производную:

\[f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} \left(\frac{1}{{x^2 + x}}\right)\]

Продифференцируем \(f'(x)\) по \(x\):

\[f''(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{-(2x + 1)}{{(x^2 + x)^2}}\right)\]

После выполнения вычислений, мы получим \(f''(x)\) и сможем проанализировать экстремумы и точки перегиба.

4. Построить график:

С учётом полученной информации об ОДЗ, точках пересечения с осями координат, экстремумах и точках перегиба, мы можем нарисовать график функции \(f(x)\).

Позволь построить этот график для наглядности.