Question

Дано точки А(-1;3) В(2;-3) С(4;2) Скласти рівняння ВС Рівняння висоти АК Обчисліть довжину відрізка АК

Answer 1

Для решения данной задачи находим уравнение прямой, содержащей отрезок ВС.

1) Найдем коэффициент наклона прямой, проходящей через точки В(2;-3) и С(4;2): k = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (2 - (-3))/(4 - 2) = 5/2

2) Используем формулу для нахождения уравнения прямой по коэффициенту наклона и точке: y - y1 = k(x - x1) y + 3 = (5/2)(x - 2)

3) Перепишем уравнение, приведя его к общему виду: 2y + 6 = 5x - 10

Таким образом, уравнение прямой ВС имеет вид: 5x - 2y = 16.

Теперь найдем уравнение прямой, содержащей высоту АК.

4) Найдем коэффициент наклона прямой, проходящей через точки А(-1;3) и К(x,y): k' = (y - y1)/(x - x1) = (y - 3)/(x - (-1))

5) Так как высота АК перпендикулярна стороне ВС, то коэффициент наклона прямой, содержащей высоту АК, равен обратному по отношению к коэффициенту наклона прямой ВС. k' = -2/5

6) Используем формулу для нахождения уравнения прямой: y - y1 = k'(x - x1) y - 3 = (-2/5)(x - (-1))

7) Перепишем уравнение, приведя его к общему виду: 5y - 15 = -2x - 2

Таким образом, уравнение прямой АК имеет вид: 2x + 5y = 13.

Для вычисления длины отрезка АК найдем координаты точки К, пересечения прямых ВС и АК.

8) Подставим уравнения прямых: 5x - 2y = 16 2x + 5y = 13

Решая эту систему уравнений, получим: x = 4 y = 1

Точка К(4;1).

9) Найдем длину отрезка АК, используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат: длина(АК) = √[ (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 ] = √[ (4 - (-1))^2 + (1 - 3)^2 ] = √[ 5^2 + (-2)^2 ] = √[ 25 + 4 ] = √29

Таким образом, длина отрезка АК равна √29.