Question

Знайти корені рівняння (x²-5x+2)(x²-5x+1)=28

Answer 1

Задача полягає в знаходженні коренів рівняння \((x^2 - 5x + 2)(x^2 - 5x + 1) = 28\). Давайте розглянемо це крок за кроком.

1. Розкриття дужок: \[(x^2 - 5x + 2)(x^2 - 5x + 1) = 28\] \[x^4 - 5x^3 + 2x^2 - 5x^3 + 25x^2 - 10x - 2x^2 + 10x - 5x + 25 = 28\] \[x^4 - 10x^3 + 20x^2 - 10x + 25 = 28\]

2. Помітимо, що обидві сторони рівняння мають ступінь 4: \[x^4 - 10x^3 + 20x^2 - 10x + 25 - 28 = 0\] \[x^4 - 10x^3 + 20x^2 - 10x - 3 = 0\]

3. Подивимося на можливі розклади 3: \[3 = 1 \cdot 3 = 3 \cdot 1\]

4. Спробуємо підставити різні комбінації, щоб знайти корені. - Якщо \(x = 1\): \[1^4 - 10 \cdot 1^3 + 20 \cdot 1^2 - 10 \cdot 1 - 3 = 1 - 10 + 20 - 10 - 3 = -2\]

- Якщо \(x = 3\): \[3^4 - 10 \cdot 3^3 + 20 \cdot 3^2 - 10 \cdot 3 - 3 = 81 - 270 + 180 - 30 - 3 = -42\]

- Якщо \(x = -1\): \[(-1)^4 - 10 \cdot (-1)^3 + 20 \cdot (-1)^2 - 10 \cdot (-1) - 3 = 1 + 10 + 20 + 10 - 3 = 38\]

- Якщо \(x = -3\): \[(-3)^4 - 10 \cdot (-3)^3 + 20 \cdot (-3)^2 - 10 \cdot (-3) - 3 = 81 + 270 + 180 + 30 - 3 = 558\]

5. Ми бачимо, що \(x = 1\) - це корінь рівняння.

6. Розділімо рівняння на \((x - 1)\), використовуючи синтетичний або довільний інший метод.

\[x^4 - 10x^3 + 20x^2 - 10x - 3 = 0\] \[(x - 1)(x^3 - 9x^2 + 11x - 3) = 0\]

7. Знайдемо корені решти рівняння \(x^3 - 9x^2 + 11x - 3 = 0\).

- Якщо \(x = 1\): \[1^3 - 9 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 - 3 = 1 - 9 + 11 - 3 = 0\]

Таким чином, маємо два корені для вихідного рівняння:

\[x = 1 \text{ або } x = 1\]

Отже, рівняння має два корені: \(x = 1\) та \(x = 1\).