Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=(x+1)^2, y^2=x+1 Нужно с пояснением, пошагово.

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle S=\frac{1}{3}$  ед².

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle y_1= (x+1)^2\;\;\;u \;\;\;y_2^2=x+1 \;\;\;$

Преобразуем второй график:

$\displaystyle y_2=^+_-\sqrt{x+1}$

Так как первый график - парабола, у которой ветви направлены вверх и вершина имеет координаты (-1; 0), то данный график расположен выше оси 0х, то есть y≥0, то у второго графика будем рассматривать только ветвь параболы

$y=\sqrt{x+1}$

Найдем точки пересечения.

$\displaystyle \left \{ {{y=(x+1)^2} \atop {y=\sqrt{x+1} }} \right. \\\\ODZ:x\geq -1\\\\(x+1)^2=\sqrt{x+1}\;\;\;\;\;\\(x+1)^4=x+1 \\(x+1)((x+1)^3-1)=0\\(x+1)(x+1-1)((x+1)^2+(x+1)+1)=0\\\\(x+1)*x*(x^2+3x+3)=0\\x_1=-1;\;\;\;x_2=0$

Площадь фигуры, ограниченной линиями:

$\displaystyle S=\int\limits^{x_2}_{x_1} {(f_2(x)-f_1(x))} \, dx$

Имеем:

$\displaystyle f_2(x)=\sqrt{1+x} ;\;\;\;f_1(x)=(x+1)^2;\;\;\;x_2=0;\;\;\;x_1=-1$

$></p><p>Замена переменной:</p><p>х+1 = t </p><p>dx=dt</p><p>Меняем пределы интегрирования</p><p>x=-1; t=0</p><p>x=0; t=1</p><p>Получим:</p><p><img src=$   (ед²)

Answer 2

Поиск площади фигуры, ограниченной линиями y=(x+1)^2 и y^2=x+1

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y=(x+1)^2 и y^2=x+1, мы можем использовать метод интегрирования.

Шаг 1: Найдем точки пересечения двух кривых, чтобы определить границы интегрирования.

Для этого приравняем уравнения к друг другу:

(x+1)^2 = x+1

Раскроем скобки:

x^2 + 2x + 1 = x + 1

Перенесем все в одну сторону:

x^2 + x - 1 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5

x = (-b ± √D) / (2a)

x = (-1 ± √5) / 2

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = (-1 + √5) / 2 и x = (-1 - √5) / 2.

Шаг 2: Определим границы интегрирования.

Границы интегрирования будут соответствовать значениям x, где кривые пересекаются. Таким образом, границы интегрирования будут от x = (-1 - √5) / 2 до x = (-1 + √5) / 2.

Шаг 3: Найдем площадь фигуры, используя интеграл.

Площадь фигуры можно найти, интегрируя разность между двумя кривыми по границам интегрирования.

S = ∫[a, b] (y1 - y2) dx

где y1 = (x+1)^2 и y2 = √(x+1).

Вычислим этот интеграл:

S = ∫[(-1 - √5) / 2, (-1 + √5) / 2] ((x+1)^2 - √(x+1)) dx

Шаг 4: Вычислим интеграл и найдем площадь фигуры.

Для вычисления этого интеграла можно использовать методы численного интегрирования, такие как метод прямоугольников или метод трапеций.

Однако, без дополнительной информации о функции, которая представляет кривые, мы не можем точно вычислить площадь фигуры.

Поэтому, чтобы получить точный ответ, необходимо знать функции, которые представляют кривые y=(x+1)^2 и y^2=x+1.

Примечание: В данном случае, поскольку у нас нет точной информации о функциях, представляющих кривые, мы не можем вычислить площадь фигуры. Если у вас есть дополнительные сведения о функциях, пожалуйста, предоставьте их, чтобы мы могли помочь вам более точно.