Question

У рівнобедрений трикутник вписано коло, що ділить бічну сторону у відношенні 5:3, починаючи від вершини при основі. Знайдіть периметр трикутника (у см), якщо його основа довша за бічну сторону на 2, 5 см.

Answer 1

Для розв'язання цієї задачі нам слід розглянути властивості рівнобедреного трикутника та вписаного в нього кола. Позначимо основу трикутника через \( a \) (довжина основи), а бічну сторону через \( b \) (довжина бічної сторони). За умовою задачі відомо, що бічну сторону поділено відношенням 5:3, тобто бічна сторона розподілена на дві частини, довжини яких становлять \( \frac{5}{8}b \) та \( \frac{3}{8}b \).

Також відомо, що основа довша за бічну сторону на \( 2.5 \) см, тобто \( a = b + 2.5 \).

Розглянемо трикутник і подивимося, як висота впадає на основу. Позначимо половину довжини основи через \( \frac{a}{2} \).

Відомо, що коло, вписане в рівнобедрений трикутник, розділяє бічну сторону на дві частини у відношенні 5:3. Отже, відстань від вершини трикутника до точки дотику кола до бічної сторони також розділена у відношенні 5:3. Таким чином, ми можемо записати рівняння:

\[ \frac{\frac{5}{8}b}{\frac{3}{8}b} = \frac{\frac{a}{2}}{h} \]

де \( h \) - висота трикутника. Відсюди отримаємо:

\[ h = \frac{a}{2} \cdot \frac{\frac{3}{8}b}{\frac{5}{8}b} = \frac{3}{5} \cdot \frac{a}{2} \]

Тепер ми можемо виразити висоту через основу:

\[ h = \frac{3}{5} \cdot \frac{a}{2} = \frac{3}{5} \cdot \frac{b+2.5}{2} \]

Знаючи висоту, ми можемо застосувати теорему Піфагора для знаходження довжини половини бічної сторони:

\[ \left(\frac{3}{5} \cdot \frac{b+2.5}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{8}b\right)^2 = \left(\frac{5}{8}b\right)^2 \]

Розв'язавши це рівняння для \( b \), отримаємо значення бічної сторони трикутника. Після знаходження \( b \) можна знайти \( a \) і знайти периметр трикутника:

\[ P = a + 2b \]

Обчисліть значення \( b \) і підставте його у вираз для периметру, щоб знайти відповідь.