Question

Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=√x, y=0, x=0, x=1

Answer 1

Ответ: V=1/2*π куб. ед.

Пошаговое объяснение:

V=F(1)-F(0), где F(x)=∫π*f²(x)*dx. Так как f(x)=√x, то F(x)=π*∫x*dx=1/2*π*x²+C, где C - произвольная постоянная. Отсюда V=1/2*π*1²+C-(1/2*π*0²+C)=1/2*π куб.ед.

Answer 2

Чтобы найти объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, мы можем использовать метод цилиндрических оболочек.

Данная криволинейная трапеция ограничена кривыми \(y = \sqrt{x}\), \(y = 0\), \(x = 0\) и \(x = 1\). При вращении вокруг оси абсцисс эта фигура образует объемное тело.

Шаги для нахождения объема:

1. Записать уравнение кривой: Кривая \(y = \sqrt{x}\) ограничивает трапецию. Учтем, что вращаем вокруг оси абсцисс, и \(y\) будет выражаться через \(x\).

2. Определить пределы интегрирования: Трапеция ограничена \(x = 0\) и \(x = 1\), так что эти будут пределами интегрирования.

3. Записать уравнение объема: Объем \(V\) можно найти, интегрируя площадь сечения тела по оси \(x\) от \(x = 0\) до \(x = 1\).

\[V = \pi \int_{0}^{1} (\text{радиус})^2 \,dx\]

Радиус в данном случае - это расстояние от кривой \(y = \sqrt{x}\) до оси абсцисс, то есть \(y = \sqrt{x}\).

4. Выполнить интегрирование: \[V = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{x})^2 \,dx = \pi \int_{0}^{1} x \,dx\]

Вычислите этот интеграл:

\[V = \pi \left[\frac{1}{2}x^2\right]_{0}^{1} = \pi \left(\frac{1}{2} - 0\right) = \frac{\pi}{2}\]

Таким образом, объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, равен \(\frac{\pi}{2}\) кубических единиц.