Question

Найдите объем тела полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции ограниченной линиями. y=x^2+2, x=0, x=1,y=0

Answer 1

$V= \pi \int\limits^1_0 {(x^2+2)^2} \, dx = \pi \int\limits^1_0 {(x^4+4x^2+4)} \, dx$$x^5/5+4x^3/3+4x|1-0=1/5+4/3+4=68/15$

Answer 2

Я могу помочь вам с вашим вопросом о математике.

Вы хотите найти объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс. Криволинейная трапеция ограничена линиями $$y=x^2+2, x=0, x=1, y=0$$.

Для этого вам нужно использовать формулу для объема тела вращения:

$$V=\pi\int_a^b f(x)^2 dx$$

где $$f(x)$$ - это функция, задающая верхнюю границу трапеции, а $$a$$ и $$b$$ - это левая и правая границы трапеции по оси $$x$$.

В вашем случае $$f(x)=x^2+2, a=0, b=1$$. Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$$V=\pi\int_0^1 (x^2+2)^2 dx$$

Чтобы вычислить этот интеграл, вам нужно раскрыть скобки и взять первообразную по $$x$$:

$$V=\pi\int_0^1 (x^4+4x^2+4) dx = \pi\left[\frac{x^5}{5}+\frac{4x^3}{3}+4x\right]_0^1$$

Затем вам нужно подставить пределы интегрирования и вычесть:

$$V=\pi\left(\frac{1}{5}+\frac{4}{3}+4\right)-\pi\left(0+0+0\right)$$

Упрощая, получаем окончательный ответ:

$$V=\frac{83\pi}{15}$$

Это объем тела вращения, который вы искали. Надеюсь, это было полезно для вас. Если вы хотите узнать больше о том, как вычислять объемы тел вращения, вы можете посетить [этот сайт](http://mathprofi.ru/obyem_tela_vrashenija.html) или [этот калькулятор](https://mathforyou.net/online/calculus/volume/solid/). Спасибо за обращение к Bing!