Question

1) Вычислить длину дуги y=e^(x/2)+e^(-x/2) Важно подробное интегрирования 2)Вычислить объѐм тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной линиями, вокруг указанной оси (x^2)/4+(y^2)/6=1 вокруг оси OX Нужно подробное интегрирование и график

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1)

$y=e^{x/2}+e^{-x/2};$    x=0;   x=2

длина дуги

$L=\int\limits^2_0 {(\sqrt{1+(y')^2} } \, dx$

$y'=\frac{e^{x/2}}{2} -\frac{e^{-x/2}}{2}$

$(y')^2=(0.5e^{x/2}-0.5e^{-x/2})=0.25e^x+0.25e^{-x}-2*0.5*0.5e^0 =$

$=0.25(e^x+e^{-x})-0.5$

теперь под интегралом

$\sqrt{1+0,25(e^x+e^{-x})-0.5} = \sqrt{0,25(e^x+e^{-x})+0.5} = \sqrt{0,25(e^x+e^{-x}+2)}=\\=0.5 \sqrt{(e^x+e^{-x}+2)}$

вот это и будем интегрировать используя определение гиперболических функций

$\int\limits^2_0 {0.5 \sqrt{(e^x+e^{-x}+2)}} \, dx =$

чтобы тут не таскать за собой пределы интегрирования, сперва вычислим неопределенный интеграл

$\int{0.5 \sqrt{(e^x+e^{-x}+2)}} \, dx =\int {\sqrt\frac{2coshx+2}{2} } \, dx =\frac{1}{\sqrt{2} } \int{\sqrt{coshx+1} } \, dx =$

$=\frac{1}{\sqrt{2} } \int{\sqrt{2}cosh(x/2)} \, dx =\left[\begin{array}{ccc}u=x/2\\dx=2du\\\end{array}\right] =2^{-1/2}*2^{3/2}\int {coshu} \, du=$

$=2sinhu +C = 2sinh(x/2)+C = 2\frac{e^{x/2}-e^{-x/2}}{2} +C=e^{x/2}-e^{-x/2}+C$

и теперь подставим пределы интегрирования

$(e^{x/2}-e^{-x/2}I_0^2=e^1-e^{-1}$

вот такая вот дуга

2) (x²)/4+(y²)/6=1

точки пересечения этой окружности с осью ОХ

х₁=-2 ; х₂ = 2

формула расчета объема фигуры

$V=\pi \int\limits^a_b {y^2(x)} \, dx$

найдем у²

$\frac{x^2}{4} +\frac{y^2}{6} =1;$   ⇒  $y^2 = 6-\frac{3x^2}{2}$

$V=\pi \int\limits^2_{-2} {(6-\frac{3x^2}{2} )} \, dx= \pi 6\int\limits^2_{-2} {} \, dx -\pi *\frac{3}{2} \int\limits^2_{-2} {x^2} \, dx =$

$=\pi *6xI_{-2}^2 -\pi *\frac{3}{2} \frac{x^2}{2} I_{-2}^2= \pi( 24-8)=16\pi$

Answer 2

Давайте начнем с первой задачи.

1. Вычисление длины дуги кривой y = e^(x/2) + e^(-x/2):

Для вычисления длины дуги кривой на интервале [a, b] используется следующая формула:

L = ∫[a, b] √(1 + (dy/dx)^2) dx

где dy/dx - производная функции y по x.

Сначала найдем производную функции y:

y = e^(x/2) + e^(-x/2) dy/dx = (1/2)e^(x/2) - (1/2)e^(-x/2)

Теперь вычислим (dy/dx)^2:

(dy/dx)^2 = ((1/2)e^(x/2) - (1/2)e^(-x/2))^2 = (1/4)e^x - e^(x/2)e^(-x/2) + (1/4)e^(-x) = (1/4)e^x - 1/4

Теперь мы можем вычислить интеграл для длины дуги на интервале [a, b]:

L = ∫[a, b] √(1 + (dy/dx)^2) dx = ∫[a, b] √(1 + (1/4)e^x - 1/4) dx

Теперь найдем границы интегрирования a и b. Это зависит от того, на каком интервале вы хотите вычислить длину дуги. Давайте предположим, что мы хотим найти длину дуги на интервале [c, d].

L = ∫[c, d] √(1 + (1/4)e^x - 1/4) dx

Теперь вычислим этот интеграл. Для этого мы воспользуемся методом замены переменных.

Пусть u = 1 + (1/4)e^x - 1/4 Тогда du = (1/4)e^x dx

Теперь мы можем переписать интеграл в терминах переменной u:

L = ∫[c, d] √u du

Теперь вычислим этот интеграл:

L = ∫[c, d] u^(1/2) du = (2/3)u^(3/2) |[c, d] = (2/3)(d^(3/2) - c^(3/2))

Это и есть длина дуги кривой на интервале [c, d]. Если вам нужно вычислить длину дуги на другом интервале или задать конкретные значения для a, b, c и d, то замените соответствующим образом.