Question

Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = √х, х = 1, х = 3, у = 0.у = √х​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$V=\pi \int\limits^a_b {y^2(x)} \, dx$

для нашего случая

$V=\pi \int\limits^3_1 {x} \, dx =\displaystyle \pi \frac{x^2}{2} I_1^3=4$

наше тело - усеченный конус

Answer 2

Для нахождения объема тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, мы можем использовать метод цилиндрических оболочек.

Сначала давайте определим границы интегрирования для переменной x. Криволинейная трапеция ограничена линиями x = 1 и x = 3. Таким образом, наш интеграл будет варьироваться от x = 1 до x = 3.

Теперь мы можем записать формулу для объема вращенного тела с использованием метода цилиндрических оболочек:

$V = \int_{1}^{3} 2\pi x\left(\sqrt{x} - 0\right)dx$

Здесь:

• $2\pi x$ - это периметр цилиндрической оболочки в зависимости от x (периметр вдоль оси x),
• $\sqrt{x} - 0$ - это разница между верхней и нижней функциями, определяющими криволинейную трапецию.

Теперь вычислим этот интеграл:

$V = 2\pi \int_{1}^{3} x^{\frac{3}{2}} dx$

Интегрируя $x^{\frac{3}{2}}$, получим:

$V = 2\pi \left[\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}\right]_{1}^{3} = 2\pi \left(\frac{2}{5} \cdot 3^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}\right)$

Теперь вычислим этот выражение:

$V = 2\pi \left(\frac{2}{5} \cdot 3^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5}\right)$

$V = \frac{4}{5} \pi \left(3^{\frac{5}{2}} - 1\right)$

Это и есть объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс. Выразим это значение в численном виде, если понадобится:

$V \approx 67.0206\, \text{единиц объема}$