Question

Найдите площадь фигуры ограниченными линиями y=8x-x^2; y=x^2+18x-12​

Answer 1

Решим уравнение для нахождения верхней и нижней границ интегрирования.

x²+18x-12​=8x-x²;

2x²+10x-12​=0

x²+5x-6​=0; по Виету х=-6- нижняя граница ; х=1- верхняя.

найдем интеграл от разности функций 8x-x²-(x²+18x-12)=

8x-x²-x²-18x+12=12-10х-2х²​; он равен 12х-5х²-2х³/3

по формуле Ньютона - Лейбница

( 12*1-5*1²-2*1³/3) -(12*(-6)-5*(-6)²-2*(-6)³/3)=12-5-2/3+72+180-144=115-2/3=

114 1/3 /ед. кв./

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми \(y = 8x - x^2\) и \(y = x^2 + 18x - 12\), нужно сначала найти точки их пересечения. Это можно сделать, приравняв уравнения и решив полученное уравнение относительно \(x\):

\[8x - x^2 = x^2 + 18x - 12\]

Сгруппируем все члены в одной стороне:

\[0 = 2x^2 + 10x - 12\]

Теперь решим это уравнение. Для удобства можно поделить обе стороны на 2:

\[0 = x^2 + 5x - 6\]

Теперь факторизуем это уравнение:

\[(x + 6)(x - 1) = 0\]

Отсюда получаем два значения \(x\): \(x = -6\) и \(x = 1\). Теперь подставим эти значения обратно в исходные уравнения, чтобы найти соответствующие значения \(y\):

1. Для \(x = -6\):

\[y = 8(-6) - (-6)^2 = -48 - 36 = -84\] \[y = (-6)^2 + 18(-6) - 12 = 36 - 108 - 12 = -84\]

2. Для \(x = 1\):

\[y = 8(1) - (1)^2 = 8 - 1 = 7\] \[y = (1)^2 + 18(1) - 12 = 1 + 18 - 12 = 7\]

Таким образом, точки пересечения \(A(-6, -84)\) и \(B(1, 7)\).

Теперь нужно найти площадь между кривыми. Это можно сделать с помощью интеграла:

\[S = \int_{-6}^{1} [(8x - x^2) - (x^2 + 18x - 12)] \,dx\]

Упростим выражение внутри интеграла:

\[S = \int_{-6}^{1} (-x^2 - 10x + 12) \,dx\]

Теперь проинтегрируем:

\[S = \left[-\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 12x\right]_{-6}^{1}\]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\[S = \left[-\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 12 - \left(-\frac{-216}{3} - \frac{5 \cdot 36}{2} - 72\right)\right]\]

\[S = \left[-\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 12 + 72 - 108\right]\]

\[S = -\frac{1}{3} - \frac{5}{2} - 24\]

\[S = -\frac{49}{6}\]

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = 8x - x^2\) и \(y = x^2 + 18x - 12\), равна \(-\frac{49}{6}\) квадратных единиц. Отрицательный знак говорит о том, что фигура находится под осью x.