Question

в наборе n чисел . на сколько увеличится среднее арифметическое этого набора , если одно число в этом наборе увеличить на 1?

Answer 1

среднее арифметическое увеличится на

1/n

Answer 2

Для решения этой задачи давайте воспользуемся свойствами среднего арифметического. Среднее арифметическое набора чисел равно сумме всех чисел в наборе, делённой на количество этих чисел.

Пусть у нас есть набор чисел \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) и их среднее арифметическое обозначается как \( \bar{x} \). Тогда среднее арифметическое определяется формулой:

\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \]

Теперь давайте увеличим одно из чисел на 1. Пусть это будет \( x_k \). Новое число будет \( x_k + 1 \). Обозначим новое среднее арифметическое как \( \bar{y} \). Тогда новое среднее арифметическое определяется следующей формулой:

\[ \bar{y} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + (x_k + 1) + \ldots + x_n}{n} \]

Заметим, что в числителе у нас есть сумма всех чисел в исходном наборе \( x_1, x_2, \ldots, x_n \), и мы добавили 1 к одному из чисел. Следовательно, новая сумма будет равна старой сумме плюс 1:

\[ x_1 + x_2 + \ldots + (x_k + 1) + \ldots + x_n = x_1 + x_2 + \ldots + x_k + \ldots + x_n + 1 \]

Таким образом, новая сумма чисел в числителе будет равна старой сумме чисел плюс 1. Подставим это обратно в формулу для нового среднего арифметического:

\[ \bar{y} = \frac{(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) + 1}{n} \]

Теперь сравним новое среднее арифметическое \( \bar{y} \) с исходным средним арифметическим \( \bar{x} \):

\[ \bar{y} - \bar{x} = \frac{(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) + 1}{n} - \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \]

Общий знаменатель позволяет выразить разность в виде:

\[ \bar{y} - \bar{x} = \frac{(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) + 1 - (x_1 + x_2 + \ldos + x_n)}{n} \]

Заметим, что все члены последовательности \( x_1 + x_2 + \ldos + x_n \) сократятся, и мы получим:

\[ \bar{y} - \bar{x} = \frac{1}{n} \]

Таким образом, среднее арифметическое увеличится на \( \frac{1}{n} \), где \( n \) - количество чисел в исходном наборе.