Question

Дам 100баллов срочноооооо7. (3 балла) Изучая статистику, Сергей придумал новый метод вычисления среднего арифметического. Сергей рассуждал так. Пусть нам дан набор чисел. Я в уме легко найду среднее двух чисел. Всечисла разобью на пары и найду среднее в каждой паре. Если числа целые, будустараться составлять пары из двух чётных или двух нечётных чисел, чтобыбыло легче считать. Может быть, у меня останется одно число без пары, новсё равно получится набор, в котором меньше чисел. Я его ещё раз уменьшу таким же образом и рано или поздно дойду до одного числа.XIV Олимпиада по теории вероятностей и статистике. Пригласительный тур. 13.11.2020. Вариант 1© Лаборатория теории вероятностей МЦНМО, 2020Пусть, например, нужно найти среднее арифметическое набора(1, 7, 4, 5, 8). Числа 1 и 7 заменяю их средним 4, числа 4 и 8 заменяю их средним6, и остаётся число 5 без пары. Получается набор (4, 5, 6). Тогда числа 4 и 6заменяю их средним 5. Получается набор (5, 5), поэтому среднее арифметическое данного набора равно 5.а) (От 6 класса) Покажите, что для вычисления среднего арифметическогопроизвольного числового набора этот способ не годится.б) (От 7 класса) Друг Сергея Пётр сказал, что способ Сергея верно работает, если в числовом наборе определённое количество чисел, и неважно, каковысами числа. Правда ли это? Сколько чисел должно быть в наборе, чтобы способСергея работал верно?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

а) например 8+2+3+4+5+6, по способу сергея ответ будет 5, но верный это 4,666....

Не все пары чисел делятся на 2, поэтому ответ может быть неверен

б)4, если не ошибаюсь

Answer 2

а) Предположим, у нас есть числовой набор, который состоит из одного числа. Согласно методу Сергея, мы не сможем разделить это число на пару и вычислить среднее, так как у нас нет пары для него. Это демонстрирует, что метод Сергея не годится для вычисления среднего арифметического произвольного числового набора, содержащего одно число.

б) Друг Сергея Пётр утверждает, что метод Сергея верно работает, если в числовом наборе определённое количество чисел, и неважно, каковы сами числа. Давайте разберемся, при каких условиях метод Сергея действительно будет работать верно.

Пусть у нас есть исходный набор из n чисел. По методу Сергея, каждый раз мы будем брать среднее арифметическое пары чисел. Если остается одно число без пары, мы остановимся, и это число будет считаться средним арифметическим для данного набора.

1. Когда у нас есть два числа, их среднее арифметическое совпадает с средним арифметическим исходного набора, и метод Сергея работает верно.

2. Когда у нас есть три числа, метод Сергея приведет к следующему:

   • Берем средние арифметические для пар (1, 2) и (3, 4) (если у нас были бы числа 1, 2, 3, 4).
   • Остается одно число без пары.
   • Считаем среднее арифметическое для оставшегося числа.

Таким образом, метод Сергея будет работать, если у нас есть нечетное количество чисел, так как последний этап всегда оставит одно число без пары.

В общем случае, метод Сергея будет работать верно, если количество чисел в исходном наборе является степенью двойки плюс одним, то есть n = 2^k + 1, где k - натуральное число.

Таким образом, утверждение Петра верно: метод Сергея будет работать, если в числовом наборе определенное количество чисел, а именно в случае, когда количество чисел равно 2^k + 1.