Question

1)Розв'яжіть рівняння: х + 4 = √−х − 4 . 2)Винесіть множник з-під знака кореня √250x18 (18 в степені) y4 (4-в степені)3)Укажіть область визначення функції y=√x+54)Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу​

Answer 1

Іноді подкоренное вираз розкладається на такі множники, коріння з яких витягуються досить легко. У таких випадках вираз можна спростити за допомогою винесення множника з-під знака кореня. Наприклад, '

√12 = √4 • 3 = √4 • √3 = 2√3;

  4√1250 = 4√625 • 2 = 4√54 • 2 = 4√54 • 4√2 = 54√2.

Винесення множника за знак кореня дозволяє спростити і більш складні вирази. так,

√18 + √50 -√98 = √9 • 2 + √25 • 2 - √49 • 2 = 3√2 + 5√2- 7√2 = √2;

3√81 - 3√24 + 3√375 = 3√27 • 3 - 3√8 • 3 + 3√125 • 3 = 33√3 -23√3 + 53√3 = 63√3:

Іноді виявляється корисним, навпаки, ввести який-небудь множник під знак кореня.

Нехай, наприклад, потрібно обчислити наближене значення 7√8 з нестачею з точністю до 0,1. Введемо 7 під знак кореня. Для цього зауважимо, що 7 = √49. Тому 7√8 = √49 • √8 = √49 • 8 = √392. Витягуючи корінь з 392 звичайним способом, отримаємо наступне наближене значення цього кореня з нестачею з точністю до 0,1: √392 ≈19,7. Якби ми не ввели 7 під знак кореня, а вирахували б наближене значення √8 з точністю до 0,1 (√8 ≈ 2,8) і отриманий результат помножили на 7, то отримали б 7√8 ≈ 19,6, то є помилилися на 0,1. Цей приклад показує, яку користь може надати введення множника під знак кореня.

Крім того, введення множника під знак кореня призводить іноді до значного спрощення виразу. наприклад

Answer 2

1) Розв'язання рівняння:

\[ x + 4 = \sqrt{-x - 4} \]

Спочатку піднесемо обидві сторони рівняння до квадрата, щоб позбавитися від кореня:

\[ (x + 4)^2 = -x - 4 \]

Розкриємо ліву сторону:

\[ x^2 + 8x + 16 = -x - 4 \]

Приберемо -x та 4 з обох сторін:

\[ x^2 + 9x + 20 = 0 \]

Тепер розв'яжемо квадратне рівняння. Факторизуємо:

\[ (x + 5)(x + 4) = 0 \]

Отже, рівняння має два розв'язки:

\[ x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5 \]

\[ x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \]

2) Винесемо множник з-під знака кореня:

\[ \sqrt{250x^{18} \cdot y^4} = \sqrt{250x^{18}} \cdot \sqrt{y^4} \]

\[ \sqrt{250x^{18} \cdot y^4} = \sqrt{250} \cdot \sqrt{(x^9)^2} \cdot \sqrt{y^4} \]

\[ \sqrt{250x^{18} \cdot y^4} = \sqrt{250} \cdot x^9 \cdot y^2 \]

3) Область визначення функції \( y = \sqrt{x + 5} \):

Для того, щоб корінь був визначений, вираз під коренем повинен бути не менше нуля:

\[ x + 5 \geq 0 \]

Звідси отримуємо:

\[ x \geq -5 \]

Отже, область визначення цієї функції - це всі дійсні числа \( x \), такі, що \( x \geq -5 \).

4) Звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу:

Для звільнення від ірраціональності в знаменнику, помножимо як верхню, так і нижню частини на спрощений вираз, який допоможе позбутися кореня:

\[ \frac{1}{\sqrt{x + 5}} \cdot \frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{x + 5}} \]

\[ = \frac{\sqrt{x + 5}}{x + 5} \]

Таким чином, ми звільнилися від ірраціональності в знаменнику.