Question

3 Задачи по геометрии 1. В параллелограмме MPKT на стороне MT отмечена точка E, ∠PEM=90°, ∠EPT=45°, ME=4 см, ET=7 см. Найдите площадь параллелограмма. 2. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 см. 3. В прямоугольной трапеции площадь равна 30 см², периметр 28 см, а меньшая боковая сторона 3 см. Найдите большую боковую сторону.

Answer 1

1.

77 см².

ΔЕРТ - прямоугольный, ∠РТЕ=90-45=45°, т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°;

ΔРТЕ - равнобедренный, РЕ=ЕТ=7 см

РЕ - высота МРКТ, т.к. РЕ⊥МТ;  МТ=4+7=11 см

S(МРКТ)=МТ*РЕ=11*7=77 см²

2.

Пусть АС=ВС=х см.  Тогда по теореме Пифагора 10²=2х²

2х²=100;  х²=50;  х=√50

S=1/2 * AC*BC=1/2 * √50 * √50 = 1/2 * 50 = 25  см²

3.

Дано: КМСТ - трапеция; МК⊥КТ,  МК=3 см;  S(МКСТ)=30 см²,  Р(МКСТ)=28 см. Найти СТ.

Проведем высоту СН=МК=3 см;

S(КМСТ)=(СМ+КТ)/2 * СН;  30=(СМ+КТ)/2 * 3;

(СМ+КТ)/2=30/3

СМ+КТ=20 см

СТ=28-20-3=5 см.

Answer 2

1. Площадь параллелограмма:

В данной задаче у нас есть параллелограмм MPKT, и мы знаем, что точка E находится на стороне MT, а также у нас есть углы PEM и EPT.

Для начала, обратим внимание, что углы PEM и EPT в сумме дают 90 градусов, так как PEM равен 90 градусов. Это говорит нам о том, что треугольник PEM - прямоугольный.

Теперь, используя теорему Пифагора для треугольника PEM, мы можем найти длину стороны PM:

\[ PM^2 = PE^2 + EM^2 \]

\[ PM^2 = 7^2 + 4^2 = 49 + 16 = 65 \]

\[ PM = \sqrt{65} \]

Теперь у нас есть длина стороны PM. Площадь параллелограмма равна произведению длин двух соседних сторон, умноженному на синус угла между ними.

\[ \text{Площадь} = PM \times MT \times \sin(\angle PEM) \]

\[ \text{Площадь} = \sqrt{65} \times MT \times \sin(90^\circ) \]

\[ \text{Площадь} = \sqrt{65} \times MT \]

2. Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника:

В равнобедренном прямоугольном треугольнике, мы знаем, что один из углов равен 90 градусам, а два других угла равны. Пусть катеты треугольника равны \(a\), а гипотенуза равна \(c\).

Используя теорему Пифагора, мы можем выразить катеты через гипотенузу:

\[ a^2 + a^2 = c^2 \]

\[ 2a^2 = c^2 \]

\[ a = \frac{c}{\sqrt{2}} \]

Теперь мы можем найти площадь треугольника:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times a \times a \]

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{c}{\sqrt{2}}\right) \times \left(\frac{c}{\sqrt{2}}\right) \]

\[ \text{Площадь} = \frac{c^2}{4} \]

Зная, что гипотенуза равна 10 см, подставим значение:

\[ \text{Площадь} = \frac{10^2}{4} = \frac{100}{4} = 25 \]

3. Большая боковая сторона прямоугольной трапеции:

Пусть \(a\) и \(b\) - длины оснований трапеции, \(h\) - высота трапеции.

Площадь трапеции выражается формулой:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h \]

Мы знаем, что площадь равна 30 см² и периметр \(P\) равен 28 см:

\[ 30 = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h \]

\[ 28 = a + b + 2h \]

Решим систему уравнений. Первое уравнение можно переписать:

\[ h = \frac{60}{a + b} \]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[ 28 = a + b + \frac{120}{a + b} \]

Умножим обе стороны на \(a + b\):

\[ 28(a + b) = (a + b)^2 + 120 \]

Разложим квадрат:

\[ 28a + 28b = a^2 + 2ab + b^2 + 120 \]

\[ 0 = a^2 + 2ab + b^2 - 28a - 28b + 120 \]

\[ 0 = (a - 14)^2 + 2(a - 14)(b - 14) + (b - 14)^2 \]

Это уравнение показывает, что выражение \((a - 14)^2 + 2(a - 14)(b - 14) + (b - 14)^2\) равно нулю. Таким образом, \(a = 14\) или \(b = 14\).

Если \(a = 14\), то \(h = \frac{60}{14 + b}\). Подставим это в уравнение для площади:

\[ 30 = \frac{1}{2} \times (14 + b + b) \times \frac{60}{14 + b} \]

\[ 60 = (28 + 2b) \times \frac{60}{14 + b} \]

\[ 14 + b = 2 \]

\[ b = -12 \]

Однако, длины сторон не могут быть отрицательными, следовательно, \(a\) не может быть равным 14. Следовательно, \(b = 14\) и \(h = \frac{60}{14 + a}\). Подставим это в уравнение для площади:

\[ 30 = \frac{1}{2} \times (a + 14 + 14) \times \frac{60}{14 + a} \]

\[ 60 = (28 + a) \times \frac{60}{14 + a} \]

\[ 14 + a = 2 \]

\[ a = -12 \]

Также, длины сторон не могут быть отрицательными, следователь