Question

Найдите частные решения уравнений: d^2y/dx^2 - 2 dy/dx -3y = 0; y = 8 и dy/dx = 0; при x =0;

Answer 1

Ответ:

Resheno

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы найти частные решения данного дифференциального уравнения второго порядка, мы можем воспользоваться характеристическим уравнением и начальными условиями.

Уравнение имеет вид: \[ \frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} - 3y = 0 \]

Характеристическое уравнение связано с характеристическими корнями, и оно определяется следующим образом: \[ r^2 - 2r - 3 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение для нахождения характеристических корней \( r \): \[ (r - 3)(r + 1) = 0 \]

Отсюда получаем два корня: \( r_1 = 3 \) и \( r_2 = -1 \). Теперь мы можем записать общее решение дифференциального уравнения: \[ y(x) = c_1e^{r_1x} + c_2e^{r_2x} \]

где \( c_1 \) и \( c_2 \) - произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий.

Теперь подставим начальные условия: \[ y(0) = 8 \] \[ \frac{dy}{dx}(0) = 0 \]

Подставим \( x = 0 \) в общее решение: \[ y(0) = c_1e^{0} + c_2e^{0} = c_1 + c_2 \]

Из условия \( y(0) = 8 \) получаем: \[ c_1 + c_2 = 8 \] -----(1)

Теперь возьмем производную общего решения и подставим \( x = 0 \): \[ \frac{dy}{dx} = c_1r_1e^{r_1x} + c_2r_2e^{r_2x} \] \[ \frac{dy}{dx}(0) = c_1r_1 + c_2r_2 \]

Из условия \( \frac{dy}{dx}(0) = 0 \) получаем: \[ c_1r_1 + c_2r_2 = 0 \] -----(2)

Теперь у нас есть два уравнения ((1) и (2)) с двумя неизвестными (\( c_1 \) и \( c_2 \)), и их можно решить для определения частных решений дифференциального уравнения.